Question

Помогите пожалуйста, очень срочноНапомним, что факториалом n! натурального числа n называется произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно (например, 1! = 1, а 5! = 1*2*3*4*5). Можно ли из чисел 1!, 2!,…, 99!, 100! вычеркнуть одно так, что-бы произведение оставшихся оказалось кубом натурального числа?

Answer 1

Нужно вычеркнуть 50!

Answer 2

Да, можно из чисел 1!, 2!, ..., 99!, 100! вычеркнуть одно так, чтобы произведение оставшихся чисел оказалось кубом натурального числа.

Рассмотрим произведение всех чисел от 1! до 100!:

P = 1! * 2! * 3! * ... * 99! * 100!

Теперь давайте разделим это произведение на 100!:

P' = (1! * 2! * 3! * ... * 99!) * (100!/100!)

Заметим, что второе слагаемое (100!/100!) равно 100, так как 100! делится на 100 без остатка.

Таким образом, P' = (1! * 2! * 3! * ... * 99!) * 100 = 100 * (1! * 2! * 3! * ... * 99!)

Теперь, если мы возьмем кубический корень из P', то получим:

∛(P') = ∛(100 * (1! * 2! * 3! * ... * 99!))

Так как 100 является кубом натурального числа (100 = 10^3), то условие выполняется.

Таким образом, вычеркнув число 100!, оставшиеся числа можно перемножить, и их произведение будет кубом натурального числа.