Question

Докажите, что функция f(x) = -2x +cosx убывает на промежутке R

Answer 1

$f(x)=-2x+\cos x$

Найдем производную функции:

$f'(x)=-2-\sin x$

Оценим производную:

$-1\leq \sin x\leq 1\\-1\leq -\sin x\leq 1\\-1-2\leq -2-\sin x\leq 1-2\\-3\leq -2-\sin x\leq -1$

Производная принимает лишь отрицательные значения. Но если производная на некотором интервале принимает только отрицательные значения, то сама функция убывает на этом интервале.

Поскольку производная отрицательна на промежутке R, то функция убывает на промежутке R.

Answer 2

Чтобы доказать, что функция f(x) = -2x + cos(x) убывает на всем промежутке R, нам нужно показать, что производная функции f(x) всюду отрицательна.

Для этого вычислим производную функции f(x). Производная f'(x) функции f(x) равна сумме производных её слагаемых:

f'(x) = (-2)'x + (cos(x))'

Производная константы -2 равна 0, поэтому первое слагаемое вносит вклад только из-за производной переменной x, и оно равно -2.

Производная функции cos(x) равна -sin(x).

Таким образом, производная функции f(x) равна:

f'(x) = -2 - sin(x)

Мы должны показать, что f'(x) < 0 для любого значения x на промежутке R. Заметим, что sin(x) принимает значения от -1 до 1 включительно.

Тогда -2 - sin(x) будет принимать значения от -2 - 1 = -3 до -2 + 1 = -1.

Таким образом, производная f'(x) всегда меньше нуля на промежутке R.

Исходя из этого, можем заключить, что функция f(x) = -2x + cos(x) убывает на всем промежутке R.