Question

Помогите пожалуйста вычислить предел х стремится к 0+ (ctgx) в степени х

Answer 1

$></p> <p>Поставь 0 в ctg и получишь ответ 0, но из-за нулевой степени, ответ будет 1.</p> </div> <div class=$ 0 0

Answer 2

Для вычисления данного предела воспользуемся тем, что ctg(x) = 1/tan(x). Тогда наш предел примет вид:

lim(x->0+) (ctgx)^x = lim(x->0+) (1/tanx)^x

Теперь заметим, что (1/tanx) = cosx/sinx, поэтому предел можно переписать так:

lim(x->0+) ((cosx/sinx)^x)

Применим теперь известное свойство предела, которое гласит, что:

lim(x->0) (1 + x)^k = 1

где k - произвольная константа. В нашем случае k = x.

Исходя из этого свойства, мы можем записать:

lim(x->0) ((cosx/sinx)^x) = exp(lim(x->0) (x * ln(cosx/sinx)))

Теперь остается вычислить предел в скобках:

lim(x->0) (x * ln(cosx/sinx))

Мы можем заметить, что x * ln(cosx/sinx) является неопределенной формой вида 0 * (-∞), поэтому применим правило Лопиталя. Возьмем производную числителя и знаменателя:

lim(x->0) (ln(cosx/sinx)) / (1/x)

Получим:

lim(x->0) (ln(cosx) - ln(sinx)) / (1/x)

Производная ln(x) равна 1/x, поэтому:

lim(x->0) (ln(cosx) - ln(sinx)) / (1/x) = lim(x->0) (1/cosx * (-sinx) - 1/sinx * cosx) / (-1/x^2) = lim(x->0) (-sinx/cosx - cosx/sinx) / (-1/x^2) = lim(x->0) (x^2 * (-sinx/cosx - cosx/sinx))

Снова применим правило Лопиталя для вычисления предела. Производная (-sinx/cosx) равна -(cosx/cosx + sinx/sinx) = -(-tanx - 1) = tanx + 1, а производная (cosx/sinx) равна (-sinx * sinx - cosx * cosx)/sinx^2 = -1.

Получаем:

lim(x->0) (x^2 * (-sinx/cosx - cosx/sinx)) = lim(x->0) (x^2 * (tanx + 1 + 1)) = lim(x->0) (x^2 * (tanx + 2))

Теперь можем подставить x = 0 и получим:

lim(x->0) (x^2 * (tanx + 2)) = 0^2 * (tan(0) + 2) = 0 * (0 + 2) = 0

Итак, предел (ctgx)^x при x, стремящемся к 0+ равен 0.