Question

Log(2)x-log(x)2=1,5 произведение корней уравнения

Answer 1

Ответ:

$2\sqrt{2}$

Пошаговое объяснение:

$log_2x-log_x2=1,5\\log_2x-\frac{1}{log_2x}=1,5\; \; |*log_2x\neq0, x\neq1\\\\log_2^2x-1,5log_2x-1=0\\a=log_2x\\a^2-1,5a-1=0\\D=6,25=(2,5)^2\\a_1=2;\; \; a_2=-\frac{1}{2}\\\\log_2x_1=2=>x_1=4\\log_2x=-\frac{1}{2}=>x_2=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\\\x_1*x_2=4*\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, можно использовать свойства логарифмов и преобразовать его к эквивалентному виду. Предлагаю начать с преобразования выражения:

log(2)x - log(x)2 = 1.5

Сначала воспользуемся свойством логарифма:

log(a) - log(b) = log(a/b)

Применим это свойство к уравнению:

log(2)x - log(x)2 = log(2)x / log(x)2 = 1.5

Теперь у нас есть единственный логарифм на каждой стороне уравнения. Применим другое свойство логарифма:

log(a)b = c эквивалентно b = a^c

Применим это свойство к уравнению:

2^((log(2)x / log(x))) = 10^1.5

2^((log(2)x / log(x))) = 10^1.5

Теперь мы можем убрать основание логарифма и перейти к экспоненциальной форме:

2^((log(2)x / log(x))) = 10^1.5

2^((log(2)x / log(x))) = 31.6227766

Теперь мы можем привести основания к одному числу. Заметим, что 2 возводится в степень, равную дроби, поэтому возведем обе стороны в эту степень:

2^((log(2)x / log(x)))^(log(2)x / log(x)) = (31.6227766)^(log(2)x / log(x))

2^(log(2)x) = (31.6227766)^(log(2)x / log(x))

2^(log(2)x) = (2^5)^(log(2)x / log(x))

2^(log(2)x) = 2^(5 * (log(2)x / log(x)))

Поскольку основания равны, аргументы также должны быть равны:

log(2)x = 5 * (log(2)x / log(x))

Далее упростим это уравнение:

log(2)x = (5 * log(2)x) / log(x)

Умножим обе стороны на log(x):

log(x) * log(2)x = 5 * log(2)x

log(x) * log(2)x - 5 * log(2)x = 0

log(2)x * (log(x) - 5) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Следовательно, один из множителей должен быть равен нулю:

log(2)x = 0 или log(x) - 5 = 0

Решим оба уравнения отдельно:

1. log(2)x = 0

Используя свойство логарифма log(a)b = c эквивалентно b = a^c:

2^0 = x

x = 1

2. log(x) - 5 = 0

Добавим 5 к обеим сторонам уравнения:

log(x) = 5

Используя свойство логарифма log(a)b = c эквивалентно b = a^c:

10^5 = x

x = 100,000

Таким образом, у нас есть два значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению: x = 1 и x = 100,000.

Теперь мы можем найти произведение корней уравнения:

Произведение корней = 1 * 100,000 = 100,000