Question

Докажите что числа 130 и 231 взаимно простые заранее спасибо

Answer 1

130 | 2                               231 | 3

65 | 5                                 77 | 7

13 | 13                                 11 | 11

1                                          1

130 = 2 · 5 · 13                    231 = 3 · 7 · 11

НОД (130 и 231) = 1 - наибольший общий делитель

Числа 130 и 231 взаимно простые, так как у них нет общих делителей, кроме единицы.

Answer 2

Числа считаются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Давайте вычислим НОД для чисел 130 и 231 и проверим, равен ли он 1.

Способ 1: Использование алгоритма Евклида Алгоритм Евклида позволяет вычислить НОД двух чисел.

1. Начнем с чисел 130 и 231.
2. Разделим большее число на меньшее: 231 ÷ 130 = 1 остаток 101.
3. Теперь разделим предыдущий остаток (130) на текущий остаток (101): 130 ÷ 101 = 1 остаток 29.
4. Повторим шаг 3, разделив 101 на 29: 101 ÷ 29 = 3 остаток 14.
5. Продолжим: 29 ÷ 14 = 2 остаток 1.
6. Наконец, разделим 14 на 1: 14 ÷ 1 = 14 остаток 0.

Когда остаток становится равным 0, алгоритм заканчивается. НОД чисел 130 и 231 равен последнему ненулевому остатку, который в данном случае равен 1.

Таким образом, мы доказали, что числа 130 и 231 взаимно простые, поскольку их НОД равен 1.

Способ 2: Использование факторизации Другой способ доказательства взаимной простоты чисел 130 и 231 - это разложение их на простые множители и проверка отсутствия общих простых множителей.

Разложим числа 130 и 231 на простые множители:

130 = 2 × 5 × 13 231 = 3 × 7 × 11

Мы видим, что простые множители числа 130 (2, 5, 13) не встречаются в разложении числа 231 (3, 7, 11) и наоборот.

Таким образом, числа 130 и 231 не имеют общих простых множителей, и они взаимно простые.

Оба способа доказывают, что числа 130 и 231 являются взаимно простыми.