Question

Решите уравнение в целых числах х^2=3y^2+10

Answer 1

Рассмотрим два случая:        

1). $y$ четно.

Представим число $y$ в виде $2n$. Понятно, что сумма четного числа и еще одного четного - четная. Поэтому $x$ - тоже четное. Заменим его на $2m$. Подставляем:

$(2m)^2=3(2n)^2+10\\4m^2=12n^2+10\\4m^2-12n^2=10\\4 (m^2-3n^2) =10$

Но это противоречие! $10$ на $4$ нацело не делится.

2). $y$ нечетно.

Пусть $y=2n+1$, а $x$ - нечетное - это $2m+1$. Подставим:

$(2m+1)^2=3(2n+1)^2+10\\4m^2+4m+1=12n^2+12n+3+10\\4m^2+4m=12n^2+12n+12$

Теперь видно, что $m$ делится на $3$. Сделаем замену $m=3k$:

$4(3k)^2+4(3k)=12n^2+12n+12\\12k^2+12k=12n^2+12n+12\\k^2+k=n^2+n+1\\k(k+1)=n(n+1)+1\\k(k+1)-n(n+1)=1$

Ясно, что каждое из чисел $n(n+1)$ и $k(k+1)$ - четное (так как это произведение двух последовательных чисел). И у нас получается, что разность двух четных чисел - число нечетное ($1$), что весьма странно.

Получаем, что корней у уравнения нет.

  Ответ: ∅ .  

Answer 2

Данное уравнение является диофантовым уравнением, и мы можем решить его, используя метод бесконечно-продолжаемых дробей. Перепишем уравнение в следующем виде:

x^2 - 3y^2 = 10

Используя обозначение целочисленной части корня как [√3], мы можем представить решение в виде (x, y) = ([√3] * n, m), где n и m - целые числа.

Подставим это в уравнение:

([√3] * n)^2 - 3m^2 = 10

3n^2 - 3m^2 = 10

n^2 - m^2 = (n + m)(n - m) = 10/3

Так как n и m являются целыми числами, n + m и n - m также должны быть целыми числами. Мы можем перебрать возможные значения n + m и n - m, которые делят 10/3, чтобы найти целочисленные решения.

Возможные значения n + m и n - m:

1. n + m = 10, n - m = 3/1 (не является целым числом)
2. n + m = 5, n - m = 6/1 (не является целым числом)
3. n + m = 10/3, n - m = 3/1 (не является целым числом)

Таким образом, диофантово уравнение x^2 = 3y^2 + 10 не имеет решений в целых числах.