Question

Решить дифференциальное уравнение x^3y'=y^3

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

вот и все

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения можно использовать метод разделяющихся переменных. Для начала, перепишем уравнение в виде:

x^3 dy/dx = y^3

Затем разделим переменные, переместив все, что содержит y на одну сторону, а все, что содержит x, на другую:

y^(-3) dy = x^3 dx

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. Интеграл от y^(-3) dy можно найти следующим образом:

∫ y^(-3) dy = ∫ x^3 dx

Для левой части уравнения выполним замену переменной, позволяющую найти интеграл:

Пусть u = y^(-2), тогда du = -2y^(-3) dy

Тогда наше уравнение приобретает вид:

-1/2 ∫ du = ∫ x^3 dx

-(1/2)u = (1/4)x^4 + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Теперь заменим обратно переменную u на y^(-2):

-(1/2)y^(-2) = (1/4)x^4 + C1

Умножим обе части на -2 и перенесем одну из частей на другую:

y^(-2) = -(1/2)(1/4)x^4 - C1

y^(-2) = -(1/8)x^4 - C1

Теперь возьмем обратное значение от обеих сторон уравнения:

y^2 = -8/(x^4) - 1/C1

Обозначим -1/C1 как C2:

y^2 = -8/(x^4) + C2

В итоге получаем общее решение дифференциального уравнения:

y^2 = -8/(x^4) + C2

где C2 - произвольная постоянная.