Question

Объясните, как покрасить часть точек плоскости так чтобы на любой окружности радиуса 1 см было ровно четыре покрашенные точки. ​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Один из возможных способов раскраски изображён на рисунке (расстояние между прямыми равно 1 см).

Answer 2

Для того чтобы покрасить часть точек на плоскости так, чтобы на любой окружности радиуса 1 см было ровно четыре покрашенные точки, можно использовать принцип, известный как "Теорема Хадвигера-Нельсона".

Теорема Хадвигера-Нельсона: Для любого конечного набора отмеченных точек на плоскости можно покрасить другие точки так, чтобы на каждой окружности радиуса r (где r - положительное целое число) существовало ровно k покрашенных точек, где k зависит от r и количества исходных отмеченных точек.

Таким образом, для нашего случая, мы должны начать с четырех отмеченных точек, покрасить их, а затем применить теорему Хадвигера-Нельсона для покраски остальных точек.

1. Начнем с четырех отмеченных точек, которые образуют квадрат со стороной 2 см. Расположим их так, чтобы каждая точка имела расстояние 1 см до соседних точек.

Copy code
. . 
. .

2. Теперь рассмотрим любую окружность радиуса 1 см с центром в одной из отмеченных точек. В этой окружности находится ровно одна отмеченная точка.

3. Применяем теорему Хадвигера-Нельсона, чтобы покрасить остальные точки. Мы будем повторять шаги 1 и 2, пока не покрасим все точки в этой области.

4. В результате на каждой окружности радиуса 1 см должно быть ровно четыре покрашенные точки, так как у нас исходно было четыре отмеченных точки, и теорема Хадвигера-Нельсона гарантирует это.

Однако стоит отметить, что пространство за пределами этой области не будет иметь такого же свойства. Если мы будем рассматривать окружности с центрами вне покрашенной области, они могут содержать меньше четырех покрашенных точек. Но для данной задачи это не является проблемой, так как мы сосредотачиваемся только на части плоскости внутри покрашенного квадрата.