Question

Решите дифференциальное уравнение 2xy′ + y=3x Заранее огромное спасибо

Answer 1

$2xy'+y=3x\\\\y'=\frac{3x-y}{2x}\\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=tx\; ,\; \; y'=t'x+t\\\\t'x+t=\frac{3x-tx}{2x}\\\\t'x+t=\frac{3}{2}-\frac{t}{2}\\\\t'x=\frac{3}{2}-\frac{3\, t}{2}\\\\t'=\frac{dt}{dx} =\frac{3-3t}{2x}\\\\\int \frac{dt}{3-3t}=\int \frac{dx}{2x}\\\\-\frac{1}{3}\, ln|3-3t|=\frac{1}{2}\, ln|x|+lnC\\\\ln\sqrt[3]{3-3t}=-ln(C\sqrt{x})\\\\\sqrt[3]{3-3\cdot \frac{y}{x}}=\frac{1}{C\sqrt{x}}\\\\3\cdot (1-\frac{y}{x})=\frac{1}{C^3\sqrt{x^3}}\\\\\frac{y}{x}=1-\frac{1}{3C^3\sqrt{x^3}}\\\\y=x\cdot (1-\frac{1}{3C^3\sqrt{x^3}})$

Answer 2

Ответ:

y = x + C/√x

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Для решения данного дифференциального уравнения, мы воспользуемся методом разделения переменных и методом интегрирования. Первым шагом является переписывание уравнения в стандартной форме:

2xy' + y = 3x

Теперь разделим переменные, переместив y и y' в разные стороны уравнения:

2xy' = 3x - y

Теперь выразим y':

y' = (3x - y) / 2x

Теперь мы можем решить полученное уравнение с помощью метода разделения переменных. Выделим dy на левой стороне уравнения, а справа вынесем все, что зависит только от x:

dy = (3x - y) / 2x dx

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(1/y) dy = ∫(3/2x - 1/2) dx

Интегрируем левую сторону:

ln|y| = (3/2) ln|x| - ln|2| + C₁

где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь применим свойства логарифма:

ln|y| = ln|x^(3/2)/2| + C₁

Теперь избавимся от логарифма, применив экспоненту к обеим сторонам:

|y| = |x^(3/2)/2| * e^(C₁)

Мы можем игнорировать модули, так как они рассматриваются отдельно для положительных и отрицательных значений, их значения остаются одинаковыми при взятии произвольной постоянной.

Теперь, чтобы упростить выражение, представим e^(C₁) как новую произвольную постоянную, назовем её C₂:

y = C₂ * x^(3/2)/2

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(x) = C * x^(3/2)/2

где C - произвольная постоянная.

Чтобы найти частное решение данного уравнения, нужно использовать начальные условия (если они заданы). В таком случае, подставьте значения x и y в уравнение и найдите значение C.