Question

Помогите решить диф уравнение x^3y'+y=7 y(1)=6

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

надеюсь, все правильно сделала

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

x^3y' + y = 7

с начальным условием y(1) = 6.

Для решения этого уравнения используем метод разделения переменных.

Шаг 1: Приведение уравнения к удобному виду.

Перепишем уравнение, выделив производную y':

x^3y' = 7 - y

Шаг 2: Разделим уравнение на x^3 - y:

y' = (7 - y) / x^3

Шаг 3: Разделим на (7 - y):

(y' / (7 - y)) = 1 / x^3

Шаг 4: Проинтегрируем обе стороны уравнения:

∫(y' / (7 - y)) dy = ∫(1 / x^3) dx

Шаг 5: Выполним интегрирование:

ln|7 - y| = -1 / (2x^2) + C1

где C1 - произвольная константа интегрирования.

Шаг 6: Решим уравнение относительно y:

7 - y = e^(-1 / (2x^2) + C1)

Шаг 7: Введем новую произвольную константу C:

7 - y = C * e^(-1 / (2x^2))

Шаг 8: Решим уравнение относительно y:

y = 7 - C * e^(-1 / (2x^2))

Шаг 9: Используем начальное условие y(1) = 6 для определения C:

6 = 7 - C * e^(-1 / (2 * 1^2)) C * e^(-1/2) = 1 C = e^(1/2)

Шаг 10: Подставим значение C в уравнение для y:

y = 7 - e^(1/2) * e^(-1 / (2x^2))

Шаг 11: Упростим выражение:

y = 7 - e^(-1 / (2x^2 + 1))

Таким образом, решение дифференциального уравнения с начальным условием y(1) = 6:

y = 7 - e^(-1 / (2x^2 + 1))