Question

Найти производные функций: а) y=Sinx/Inx; y=e^x^2; y=x^2Inx

Answer 1

$1)\; \; y=\frac{sinx}{lnx}\\\\y'=\frac{cosx\cdot lnx-sinx\cdot \frac{1}{x}}{ln^2x}=\frac{x\cdot cosx\cdot lnx-sinx}{x\cdot ln^2x}\\\\2)\;\; y=e^{x^2}\\\\y'=e^{x^2}\cdot 2x\\\\3)\; \; y=x^2\cdot lnx\\\\y'=2x\cdot lnx+x^2\cdot \frac{1}{x}=2x\cdot lnx+x=x\cdot (2\, lnx+1)$

Answer 2

Ответ:

a) y' = (sin(x)/ln(x))' = (x * log(x) * cos(x) - sin(x))/(x*log^2(x))

b) y' = (e^x^2)' = 2 * e^x^2 * x

c) y' = (x^2*In(x))' = x + 2 * x * log(x)

Пошаговое объяснение:

a) y' = (sin(x)/ln(x))' = (cos(x)/ log(x)) - (sin(x)/x*log^2(x)) = (x * log(x) * cos(x) - sin(x))/(x*log^2(x))

b) y' = (e^x^2)' = 2 * e^x^2 * x

c) y' = (x^2*In(x))' = x * (2*log(x) + 1) = x + 2 * x * log(x)

Answer 3

Для нахождения производных данных функций, воспользуемся правилами дифференцирования. Пусть y = f(x).

а) y = Sin(x)/ln(x)

Для нахождения производной функции, состоящей из отношения двух функций, воспользуемся правилом дифференцирования частного:

dy/dx = (d(u)/dx * v - u * d(v)/dx) / v^2

где u = Sin(x) и v = ln(x).

Теперь найдем производные функций u и v:

du/dx = d(Sin(x))/dx = Cos(x)

dv/dx = d(ln(x))/dx = 1/x

Подставим значения u, v и их производных в формулу для dy/dx:

dy/dx = (Cos(x) * ln(x) - Sin(x) * 1/x) / ln(x)^2

Таким образом, производная функции y = Sin(x)/ln(x) равна:

dy/dx = (Cos(x) * ln(x) - Sin(x) * 1/x) / ln(x)^2

б) y = e^(x^2)

Для нахождения производной функции y = e^(x^2) применим правило дифференцирования сложной функции:

dy/dx = d(e^(u))/dx = d(e^(x^2))/dx

где u = x^2.

Теперь найдем производную функции e^(u) по u и умножим на производную u по x:

d(e^u)/du = e^u

du/dx = d(x^2)/dx = 2x

dy/dx = e^(x^2) * 2x

Таким образом, производная функции y = e^(x^2) равна:

dy/dx = 2x * e^(x^2)

в) y = x^2 * ln(x)

Для нахождения производной функции y = x^2 * ln(x) воспользуемся правилом произведения:

dy/dx = d(x^2)/dx * ln(x) + x^2 * d(ln(x))/dx

Теперь найдем производные функций x^2 и ln(x):

d(x^2)/dx = 2x

d(ln(x))/dx = 1/x

Подставим значения их производных в формулу для dy/dx:

dy/dx = 2x * ln(x) + x^2 * 1/x

Упростим выражение:

dy/dx = 2x * ln(x) + x

Таким образом, производная функции y = x^2 * ln(x) равна:

dy/dx = 2x * ln(x) + x