Question

Найдите область значений функции f(x)=x^2 + 2|x| + 4

Answer 1

Ответ:

===========================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти область значений функции f(x) = x^2 + 2|x| + 4, мы должны определить, какие значения может принимать f(x) при любых значениях x.

Разделим обсуждение на два случая в зависимости от знака абсолютного значения |x|:

1. Пусть x ≥ 0: В этом случае |x| = x, и функция f(x) = x^2 + 2x + 4. Мы знаем, что парабола с коэффициентом при x^2, большим нуля, открывается вверх, и ее минимальное значение достигается в вершине параболы. Функция f(x) = x^2 + 2x + 4 имеет такую форму, и ее минимальное значение будет в вершине параболы. Чтобы найти вершину параболы, используем формулу x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты в квадратичном уравнении ax^2 + bx + c = 0. В данном случае a = 1, b = 2, и c = 4. x = -2/(2*1) = -1. Значение функции f(-1) = (-1)^2 + 2|-1| + 4 = 1 + 2 + 4 = 7.

   Таким образом, при x ≥ 0 функция f(x) может принимать значения больше или равные 7.

2. Пусть x < 0: В этом случае |x| = -x, и функция f(x) = x^2 + 2(-x) + 4 = x^2 - 2x + 4. По аналогии с предыдущим случаем, мы знаем, что парабола с коэффициентом при x^2, большим нуля, открывается вверх, и ее минимальное значение достигается в вершине параболы. В данном случае a = 1, b = -2, и c = 4. x = -(-2)/(2*1) = 1. Значение функции f(1) = (1)^2 + 2|1| + 4 = 1 + 2 + 4 = 7.

   Таким образом, при x < 0 функция f(x) также может принимать значения больше или равные 7.

Итак, область значений функции f(x) = x^2 + 2|x| + 4 - это множество всех значений, которые больше или равны 7.