Question

Пожалуйста, напишите с подробным решением.lim x стремиться к бесконечности ((x+1)/(2*x-1))^(5*x)

Answer 1

$\lim\limits _{x \to \infty}\Big (\frac{x+1}{2x-1}\Big )^{5x}=\Big [\; (\frac{1}{2})^{\infty } \; \Big ]=\left \{ {{0\; ,\; esli\; x\to +\infty \; \; } \atop {+\infty \; ,\; esli\; x\to -\infty }} \right.$

Неопределённости нет, ориентируемся по графику функции  $y=(\frac{1}{2})^{x}$  .

Answer 2

Для нахождения предела данной функции при $x \to \infty$, мы можем использовать правило Лопиталя. Это правило позволяет находить пределы отношения функций, которые принимают форму $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$.

Обозначим данную функцию как $f(x) = \left( \frac{x+1}{2x-1} \right)^{5x}$ и вычислим ее предел при $x \to \infty$.

Шаг 1: Подставим $\infty$ в функцию:

$f(\infty) = \left( \frac{\infty+1}{2\cdot\infty-1} \right)^{5\cdot\infty}$

Шаг 2: Упростим выражение:

Мы имеем неопределенность $\infty/\infty$, поэтому применим правило Лопиталя. Это означает, что мы дифференцируем числитель и знаменатель функции $f(x)$ по переменной $x$ и находим предел этого отношения:

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)}{2x-1} \cdot \lim_{x \to \infty} 5x$

Шаг 3: Вычислим каждый предел отдельно:

• Предел $\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)}{2x-1}$:

  Для этого предела также можно применить правило Лопиталя, так как он имеет неопределенность $\infty/\infty$:

  $\lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)}{2x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{d(x+1)/dx}{d(2x-1)/dx} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

• Предел $\lim_{x \to \infty} 5x$:

  Это линейная функция $5x$, и ее предел при $x \to \infty$ равен бесконечности:

  $\lim_{x \to \infty} 5x = \infty$

Шаг 4: Теперь, когда у нас есть значения обоих пределов, вычислим предел исходной функции:

$f(\infty) = \left( \frac{1}{2} \right)^{\infty}$

Теперь рассмотрим степень $(1/2)^\infty$. Заметим, что $(1/2)^n$ будет стремиться к нулю при $n \to \infty$, поскольку при каждом увеличении $n$ знаменатель уменьшается и дробь становится все меньше. Формально:

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0$

Таким образом, окончательный ответ:

$\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+1}{2x-1} \right)^{5x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{\infty} = \boxed{0}$