Question

При каком натуральном k число 2^k +1 делится на 7?(2 в степени к)

Answer 1

Ответ:

Несуществует

Пошаговое объяснение:

Дело в том, что:  

1) если k=1,4,7,10,13,...3*N-2, где N - любое натуральное число, то на 7 делится 2^k-2,  

2) если k=2,5,8,11,14,...3*N-1, где N - любое натуральное число, то на 7 делится 2^k-4,  

3) а если k=3,6,9,12,15,...3*N, где N - любое натуральное число, то на 7 делится 2^k-1  

Поэтому 2^k+1 не делится на 7 ни при каких k. В первом случае в остатке всегда будет 3, во втором всегда будет 5, в третьем всегда будет 2.

Answer 2

Для того чтобы число $2^k + 1$ было делителем 7, необходимо и достаточно, чтобы $2^k + 1$ делилось на 7 без остатка.

Мы можем использовать остаток от деления для решения этой задачи. Заметим, что $2^k$ при возведении в степень имеет циклическую последовательность остатков при делении на 7:

$$\begin{align*} 2^0 &\equiv 1 \pmod{7} \\ 2^1 &\equiv 2 \pmod{7} \\ 2^2 &\equiv 4 \pmod{7} \\ 2^3 &\equiv 1 \pmod{7} \\ 2^4 &\equiv 2 \pmod{7} \\ 2^5 &\equiv 4 \pmod{7} \\ & \dots \end{align*}$$

Мы видим, что остатки образуют цикл длиной 3: $\{1, 2, 4\}$. Из этого следует, что $2^k$ будет иметь остаток 1 при делении на 7, когда $k$ делится на 3: $k = 3n$ для некоторого натурального числа $n$.

Таким образом, чтобы число $2^k + 1$ делилось на 7, необходимо и достаточно, чтобы $k$ было кратным 3.