Question

Решите пожалуйста иррациональное неравенство √3+х >х+1 под корнем только 3+х

Answer 1

$\sqrt{x + 3} > x + 1$

При х є [-3;-1] неравенство верное.

Рассмотрим при х>-1:

$x + 3 > {x}^{2} + 2x + 1 \\ - {x}^{2} - x + 2 > 0 \\ {x}^{2} + x - 2 < 0$

х є (-2;1)

Ответ: х є [-3;1).

Если будут вопросы – обращайтесь :)

Answer 2

Чтобы решить данное иррациональное неравенство √(3 + x) > x + 1, следует выполнить несколько шагов:

1. Избавимся от корня, возведя обе части неравенства в квадрат (для этого неравенства квадратирование допустимо, так как обе стороны неравенства положительны): (√(3 + x))^2 > (x + 1)^2

2. Упростим полученное неравенство: 3 + x > (x + 1)^2

3. Раскроем квадрат справа: 3 + x > x^2 + 2x + 1

4. Перенесем все члены в одну сторону: x^2 + 2x + 1 - x - 3 < 0

5. Упростим и приведем подобные: x^2 + x - 2 < 0

Теперь нужно найти интервалы значений x, удовлетворяющие данному неравенству. Для этого можно построить таблицу знаков. Решив уравнение x^2 + x - 2 = 0, найдем два корня: x = -2 и x = 1. Эти значения делят числовую прямую на три интервала:

1. x < -2
2. -2 < x < 1
3. x > 1

Выберем по одной точке из каждого интервала и проверим знак выражения x^2 + x - 2 на каждом интервале:

1. Пусть x = -3 (любое число меньше -2) (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 (положительное число)

2. Пусть x = 0 (любое число между -2 и 1) 0^2 + 0 - 2 = -2 < 0 (отрицательное число)

3. Пусть x = 2 (любое число больше 1) 2^2 + 2 - 2 = 4 > 0 (положительное число)

Из таблицы знаков видно, что неравенство x^2 + x - 2 < 0 выполняется только на интервале -2 < x < 1. Итак, решением исходного неравенства является -2 < x < 1.