Question

Даны вершины треугольника ABC. А(-8;4) B(4;-5) С(2;9) 1. Уравнение высоты СD и её длину. 2. Уравнение окружности, для которой высота CD и есть диаметр. 3. Систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.

Answer 1

$A(-8,4)\; ,\; \; B(4,5)\; ,\; \; C(2,9)\\\\1)\; \; CD\perp AB\; \; \Rightarrow \; \; \vec{n}_{CD}=\overline {AB}=(12,1)\; ,\; \; C(2,9)\in CD\\\\CD:\; \; 12\cdot (x-2)+1\cdot (y-9)=0\\\\\underline {CD:\; \; 12x+y-33=0}\\\\2)\; \; AB:\; \; \frac{x+8}{4+8}=\frac{y-4}{-5-4}\; \; ,\; \; \frac{x+8}{12}=\frac{y-4}{-9}\; \; ,\; \; -9(x+8)=12(y-4)\; ,\\\\AB:\; 3x+4y=-8\\\\D=AB\cap CD\; \; \Rightarrow \; \; \left \{ {{12x+y=33} \atop {3x+4y=-8}} \right.\; \; \left \{ {{y=33-12x} \atop {4y=-3x-8}} \right.$

$4(33-12x)=-3x-8\; \; ,\; \; 132-48x=-3x-8\; ,\; \; 45x=140\; ,\\\\x=\frac{140}{45}=\frac{28}{9}\; \; ,\; \; x=3\frac{1}{9}\\\\y=-3\cdot \frac{28}{9}-8=-\frac{156}{9}=-\frac{52}{3}=-17\frac{1}{3}\\\\D(\, \frac{28}{9}\, ;\, -\frac{52}{3}\, )\\\\d=| \overline {CD}|=\sqrt{(\frac{28}{9}-2)^2+(-\frac{52}{3}-9)^2}=\sqrt{(\frac{10}{9})^2+(-\frac{79}{3})^2}=\sqrt{\frac{56269}{81}}=\frac{\sqrt{56269}}{9}\\\\r=\frac{\sqrt{56269}}{18}\\\\CO=OD\; ,\; x_{O}=\frac{2+\frac{28}{9}}{2}=\frac{23}{9}\; ,\; \; y_{O}=\frac{9-\frac{52}{3}}{2}=-\frac{25}{6}$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2\\\\(x-\frac{23}{9})^2+(y+\frac{25}{6})^2=\frac{56269}{324}\\\\3)\; \; AB:\; 3x+4y=-8\; \; \to \; \; y=-\frac{3}{4}\, x-2\\\\AC:\; \frac{x-2}{-8-2}=\frac{y-9}{4-9}\; ,\; \; \frac{x-2}{-10}=\frac{y-9}{-5}\; ,\; \; x-2=2(y-9)\; ,\; \; y=\frac{1}{2}\, x+8\\\\BC:\; \frac{x-2}{4-2}=\frac{y-9}{-5-9}\; ,\; \frac{x-2}{2}=\frac{y-9}{-14}\; ,\; \; -7(x-2)=y-9\; ,\; y=-7x+23\\\\\Delta ABC:\left\{\begin{array}{lll}y\geq -\frac{3}{4}\, x-2\\y\leq \frac{1}{2}\, x+8\\y\leq -7x+23\end{array}\right$

Answer 2

Для решения задачи нам понадобится некоторый аналитический аппарат. Начнем с нахождения уравнения прямой, содержащей высоту треугольника.

1. Уравнение высоты CD и её длина: Высота треугольника проходит через вершину C и перпендикулярна стороне AB. Для определения уравнения прямой проходящей через точку C и перпендикулярной AB, мы можем использовать следующий подход:

• Найдем уравнение прямой AB, используя формулу наклона прямой и известные точки A и B.
• Найдем уравнение прямой, перпендикулярной AB, путем изменения знака коэффициента наклона их отношения.

Найдем уравнение прямой AB: Пусть точка A(x₁, y₁) и точка B(x₂, y₂) - вершины треугольника ABC. A(-8, 4), B(4, -5) Уравнение прямой AB можно найти, используя формулу наклона (slope) прямой: slope_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

slope_AB = (-5 - 4) / (4 - (-8)) = (-9) / (12) = -3/4

Теперь, используя уравнение точки-наклона прямой (point-slope form), мы можем записать уравнение прямой AB: (y - y₁) = slope_AB * (x - x₁) (y - 4) = (-3/4) * (x - (-8)) (y - 4) = (-3/4) * (x + 8) (y - 4) = (-3/4)x - 6 y = (-3/4)x - 2

Уравнение прямой AB: y = (-3/4)x - 2

Теперь найдем уравнение прямой CD, перпендикулярной AB: Так как прямые CD и AB перпендикулярны, их коэффициенты наклона должны быть обратно пропорциональны и противоположны по знаку. Поэтому коэффициент наклона прямой CD будет 4/3.

Также мы знаем, что прямая CD проходит через точку C(2, 9). Используя формулу точки-наклона, получаем уравнение прямой CD: (y - y₁) = slope_CD * (x - x₁) (y - 9) = (4/3) * (x - 2) (y - 9) = (4/3)x - 8/3 y = (4/3)x + (9 - 8/3) y = (4/3)x + (27/3 - 8/3) y = (4/3)x + 19/3

Уравнение прямой CD: y = (4/3)x + 19/3

Длина высоты CD: Для вычисления длины высоты CD, нам нужно найти расстояние между точкой C(2, 9) и прямой CD. Для этого можно использовать формулу расстояния от точки до прямой:

d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2)

где Ax + By + C = 0 - уравнение прямой, а A, B и C - коэффициенты уравнения прямой, полученные из общего уравнения прямой (Ax + By + C = 0).

В уравнении прямой CD: y = (4/3)x + 19/3 A = -4/3, B = 1 и C = -19/3

Подставим значения в формулу расстояния:

d = |(-4/3)2 + 19 - 19/3| / sqrt((-4/3)^2 + 1^2) d = |(-8/3) + 9 - 19/3| / sqrt((16/9) + 1) d = |(-8/3) + (27/3) - (19/3)| / sqrt((16/9) + 1) d = |(27 - 27 - 19)/3| / sqrt(16/9 + 9/9) d = |(-9)/3| / sqrt(25/9) d = 9/3 / (5/3) d = 9/3 * 3/5 d = 9/5 d = 1.8

Таким образом, длина высоты CD равна 1.8.

2. Уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром: Поскольку высота CD является диаметром окружности, центр окружности будет находиться на середине отрезка CD. Найдем середину отрезка CD, используя формулу средней точки:

x = (x₁ + x₂) / 2 y = (y₁ + y₂) / 2

Для точек C(2, 9) и D(x, y), координаты середины будут:

x = (2 + x) / 2 y = (9 + y) / 2

Решая эти уравнения относительно x и y, получим координаты центра окружности.

x = (2 + x) / 2 2x = 2 + x x - 2x = 2 -x = 2 x = -2

y = (9 + y) / 2 2y = 9 + y y - 2y = 9 -y =