Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=6/x, y=1+x, x=3

Answer 1

Ответ:

______________________________________

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, мы можем использовать интегралы. В данном случае фигура ограничена линиями y = 6/x, y = 1 + x и x = 3.

Для начала, найдем точки пересечения этих линий. Поставим уравнения в соответствие друг другу и решим систему:

6/x = 1 + x

Умножим обе части уравнения на x:

6 = x + x^2

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

x^2 + x - 6 = 0

Факторизуем квадратное уравнение:

(x + 3)(x - 2) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = -3 и x = 2.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, разбив ее на два отдельных участка. Площадь фигуры можно выразить следующим образом:

Площадь = ∫[a,b] f(x) dx - ∫[b,c] g(x) dx,

где a и c - это границы нашей области, а f(x) и g(x) - функции, ограничивающие фигуру.

В нашем случае, a = -3, b = 2, f(x) = 6/x, g(x) = 1 + x.

Теперь вычислим каждый из интегралов:

∫[a,b] f(x) dx = ∫[-3,2] (6/x) dx

Интегрируя, получаем:

∫[-3,2] (6/x) dx = 6 ln|x| |[-3,2]

Затем вычислим второй интеграл:

∫[b,c] g(x) dx = ∫[2,3] (1 + x) dx

∫[2,3] (1 + x) dx = x + (x^2)/2 |[2,3]

Теперь подставим значения границ и вычислим:

6 ln|2| - 6 ln|(-3)| + (3 + (3^2)/2) - (2 + (2^2)/2)

6 ln(2) + 9/2 - 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6/x, y = 1 + x и x = 3, составляет 6 ln(2) + 5/2 или примерно 10.18 единиц площади.