Question

Доказать что при любых x и y выполняется неравенство x^2+2xy+3y^2+2x+6y+3. Скажите пж как решать

Answer 1

Выражение можно преобразовать к виду суммы квадратов двучленов

x² + 2x(y+1) + (y+1)² + 2y² + 4y + 2 = (x+y+1)² + 2(y+1)² ≥ 0

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нужно показать, что выражение $x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 3$ всегда положительно или равно нулю для любых значений $x$ и $y$.

Давайте разложим данное выражение на квадратные члены и посмотрим, что получится:

$x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 3 = (x^2 + 2xy + y^2) + (2x + 2y) + (2y + 3).$

Заметим, что первый член является квадратным трехчленом, который можно переписать в следующем виде:

$x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2.$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(x + y)^2 + (2x + 2y) + (2y + 3).$

Теперь проведем некоторые преобразования:

$(x + y)^2 + 2(x + y) + (2y + 3).$

Далее, мы можем представить выражение в виде суммы квадратных членов:

$(x + y)^2 + 2(x + y) + (2y + 3) = (x + y + 1)^2 + (2y + 3).$

Окончательно, мы получили сумму двух квадратных членов $(x + y + 1)^2$ и $(2y + 3)$, которые, по определению, являются неотрицательными числами или равными нулю.

Таким образом, мы доказали, что $x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 3$ всегда положительно или равно нулю для любых значений $x$ и $y$.