Question

Рассмотрим уравнение (−4)x^3+2y^3+z^3=0 . Будем решать его в целых числах. Пусть целые числа x0 , y0 , z0 — решение этого уравнения. Какое наибольшее значение может принимать x0^2+y0^2+z0^2

Answer 1

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

В исходном уравнении первые два слагаемых делятся на 2, значит и третье должно делиться на два. Тогда сделаем замену переменных

$z=2z_1$

Получится уравнение

$-4x^3+2y^3+8z_1^3=0$

Сократим на 2:

$-2x^3+y^3+4z_1^3=0$

Перепишем немного в другом виде:

$-4z_1^3+2x^3+(-y)^3=0$

Мы получили в точности исходное уравнение, но в других переменных:

$(x,y,z)\to (z/2, x, -y)$

(причем z/2 - целое). Произведем такую замену трижды:

$(x,y,z)\to (z/2, x, -y) \to (-y/2, z/2,-x) \to (-x/2,-y/2,-z/2)$

Получили уравнение

$-4(-x/2)^3+2(-y/2)^3+(-z/2)^3=0$

Или

$-4(x/2)^3+2(y/2)^3+(z/2)^3=0$

Таким образом числа x/2, y/2, z/2 должны быть целыми, то есть x, y, z должны делиться на 2.

Выполнив эту процедуру еще раз, мы докажем, что x/4, y/4, z/4 целые, т.е. x, y, z делятся на 4. Продолжая дальше мы докажем, что x, y, z должны делиться на весь ряд степеней двойки. Но на него делится только 0. А значит x, y, z все обязаны быть нулями. Тогда величина

$x^2+y^2+z^2$

может принимать только нулевые значения.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдём наибольшее возможное значение выражения x₀² + y₀² + z₀² для целых чисел x₀, y₀, z₀, являющихся решением уравнения.

Уравнение (-4)x³ + 2y³ + z³ = 0 представляет собой уравнение вида a³ + b³ + c³ = 0, где a = -4x, b = 2y, c = z. Это уравнение относится к классу известных как уравнение Морделя.

Существует известная теорема Ферма-Эйлера, которая утверждает, что уравнение a³ + b³ + c³ = 0 не имеет нетривиальных целочисленных решений, где a, b, c исключая тривиальные случаи, при которых одно или несколько из них равны нулю.

Вернёмся к исходному уравнению (-4)x³ + 2y³ + z³ = 0. Поскольку оно является уравнением Морделя и не имеет нетривиальных целочисленных решений, значит, не существует таких целых чисел x₀, y₀, z₀, для которых данное уравнение выполняется.

Следовательно, мы не можем найти решения x₀, y₀, z₀, и соответственно не можем определить наибольшее значение выражения x₀² + y₀² + z₀².