Question

Решите логарифмическое неравенство: lg (x^2-8x+10)>0

Answer 1

Пошаговое объяснение:

____________________________________

Answer 2

Для решения данного логарифмического неравенства, необходимо учесть следующие свойства логарифмов:

1. Если логарифм числа больше нуля, то само число должно быть положительным.
2. Логарифм отрицательного числа не определен.

Теперь решим неравенство поэтапно:

1. Начнем с нахождения области определения аргумента логарифма, то есть выражения внутри логарифма должно быть положительным: x^2 - 8x + 10 > 0

2. Найдем корни этого квадратного уравнения: x^2 - 8x + 10 = 0

   Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта: D = (-8)^2 - 4 * 1 * 10 = 64 - 40 = 24

   x = (8 ± √24) / 2 = (8 ± 2√6) / 2 = 4 ± √6

   Таким образом, уравнение имеет два корня: x1 = 4 + √6 и x2 = 4 - √6.

3. Построим знаковую линию и найдем интервалы, где выражение x^2 - 8x + 10 > 0:

   x < 4 - √6 | 4 - √6 < x < 4 + √6 | x > 4 + √6 ------------------+----------------------------+---------------- (-∞) | (-∞, ∞) | (∞)

   Значит, неравенство x^2 - 8x + 10 > 0 выполняется на интервале (4 - √6, 4 + √6).

4. Теперь определим знак логарифма lg (x^2 - 8x + 10) в каждом из трех интервалов:

   x < 4 - √6: lg (x^2 - 8x + 10) < 0 4 - √6 < x < 4 + √6: lg (x^2 - 8x + 10) > 0 x > 4 + √6: lg (x^2 - 8x + 10) < 0

   Значит, исходное неравенство lg (x^2 - 8x + 10) > 0 выполняется на интервале (4 - √6, 4 + √6).

Таким образом, решением данного логарифмического неравенства является интервал (4 - √6, 4 + √6).