Question

Найти общее решение уравнения y''-4y'+20y=16xe^2x

Answer 1

$y''-4y'+20y=16xe^{2x}\\\\1)\; \; k^2-4k+20=0\; \; ,\; \; D/4=-16\; ,\; k_{1,2}=2\pm 4i\\\\y_{obsh.odnor.}=e^{2x}\cdot (C_1\, cos4x+C_2\, sin4x)$

2)  Найдем теперь частное решение лин. неоднородного дифференциального уравнения. Заметим, что  правая часть имеет вид   $f(x)=e^{\alpha x}\cdot ((Ax+B)\, cos\beta x+(Cx+D)\, sin\beta x)$  и комплексное число    $\alpha +\beta i=2+0\cdot i\ne 2+4i$  . Поэтому будем искать частное решение лин. неоднородного дифф.ур. в виде

$y_{1}=(Ax+B)\, e^{2x}\\\\y_1'=Ae^{2x}+2(Ax+B)e^{2x}=(2Ax+A+2B)\, e^{2x}\\\\y_1''=2A\, e^{2x}+2\, (2Ax+A+2B)\, e^{2x}=(4Ax+4A+4B)\, e^{2x}\\\\\\y_1''-4y_1'+20y_1=20(Ax+B)e^{2x}-4(2Ax+A+2B)e^{2x}+(4Ax+4A+4B)e^{2x}\\\\16Ax+16B=16x\; \; \; \Rightarrow \; \; 16A=16\; \; ,\; \; 16B=0\\\\A=1\; \; ,\; \; B=0\\\\y_1=x\, e^{2x}\\\\3)\; \; y_{obsh.neodn.}=e^{2x}\cdot (C_1\, cos4x+C_2\, sin4x)+x\, e^{2x}$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка, нам сначала нужно найти общее решение однородной части уравнения, а затем частное решение неоднородной части.

Уравнение однородной части: y'' - 4y' + 20y = 0

Характеристическое уравнение этой однородной части имеет вид:

r^2 - 4r + 20 = 0

Решая это квадратное уравнение, мы найдем два комплексно-сопряженных корня:

r = (4 ± sqrt(-4 * 20)) / 2 r = (4 ± sqrt(-80)) / 2 r = (4 ± 4i√5) / 2 r = 2 ± 2i√5

Таким образом, общее решение однородной части имеет вид:

y_h = c1 * e^(2x) * cos(2√5x) + c2 * e^(2x) * sin(2√5x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь перейдем к нахождению частного решения неоднородной части уравнения.

Мы видим, что неоднородная часть имеет вид 16xe^(2x). Учитывая вид неоднородности, предполагаем, что частное решение имеет вид:

y_p = (Ax^2 + Bx + C) * e^(2x)

где A, B и C - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

Дифференцируя дважды y_p и подставляя в исходное уравнение, мы получим:

y''_p - 4y'_p + 20y_p = 16xe^(2x)

Подставляем выражение для y_p:

(2A + 4Ax + 2B + 2C - 4(Ax + B + C) + 20(Ax^2 + Bx + C)) * e^(2x) = 16xe^(2x)

Упрощаем и собираем коэффициенты при одинаковых степенях x:

(20A - 4B + 2C) * x^2 + (4A + 20B - 4C) * x + (2A + 2B + 2C) = 16x

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

20A - 4B + 2C = 0 4A + 20B - 4C = 16 2A + 2B + 2C = 0

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения A, B и C:

A = -1/15 B = 4/15 C = -2/15

Таким образом, частное решение неоднородной части имеет вид:

y_p = (-x^2/15 + (4/15)x - 2/15) * e^(2x)

Теперь можем записать общее решение исходного уравнения:

y = y_h + y_p

y = c1 * e^(2x) * cos(2√5x) + c2 * e^(2x) * sin(2√5x) - (x^2/15 - (4/15)x + 2/15) * e^(2x)

где c1 и c2 - произвольные постоянные.