Question

Заданы точки А(2;1;3) В(1;-3;1) С(-1;1;1).Найти угол при вершине A и площадь треугольника ABC.

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Чтобы найти угол при вершине A треугольника ABC, мы можем использовать свойство скалярного произведения векторов. Пусть вектор AB представляет собой разность координат точек B и A, а вектор AC - разность координат точек C и A.

Вектор AB = B - A = (1 - 2, -3 - 1, 1 - 3) = (-1, -4, -2) Вектор AC = C - A = (-1 - 2, 1 - 1, 1 - 3) = (-3, 0, -2)

Угол между векторами AB и AC можно найти с помощью следующей формулы:

cos(theta) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

где AB · AC - скалярное произведение векторов AB и AC, |AB| и |AC| - длины этих векторов.

AB · AC = (-1 * -3) + (-4 * 0) + (-2 * -2) = 3 + 0 + 4 = 7 |AB| = √((-1)^2 + (-4)^2 + (-2)^2) = √(1 + 16 + 4) = √21 |AC| = √((-3)^2 + 0^2 + (-2)^2) = √(9 + 0 + 4) = √13

Теперь можем подставить значения в формулу:

cos(theta) = 7 / (√21 * √13)

Таким образом, мы нашли косинус угла при вершине A треугольника ABC. Чтобы найти сам угол, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус). Давайте найдем значение этого угла:

theta = arccos(7 / (√21 * √13))

Теперь мы можем рассчитать значение площади треугольника ABC. Мы будем использовать формулу площади треугольника, которая определяется по формуле:

Площадь = 1/2 * |AB| * |AC| * sin(theta)

Где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC, а theta - угол между ними.

Подставим известные значения:

Площадь = 1/2 * √21 * √13 * sin(theta)

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника ABC, используя найденные значения.