Question

Докажите что уравнение х^2+y^2-12y+Z^2-12z=4 является уравнением сферы

Answer 1

х²+y²-12y+Z²-12z=4

(х-0)²+(у-6)²-36+(z-6)²-36=4

х²+(у-6)²+(z-6)²=72+4

х²+(у-6)²+(z-6)²=(√76)²

уравнение сферы с центром (0;6;6) и радиусом √76

Требуемое доказано, т.к. общее уравнение сферы имеет вид

(х-а)²+(у-b)²+(z-c)²=R²  , где точка  (a;b;c) - ее центр, а R-радиус сферы.

Answer 2

Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + y^2 - 12y + z^2 - 12z = 4$ является уравнением сферы, необходимо показать, что оно имеет каноническую форму уравнения сферы.

Уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет общий вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$, где $(a, b, c)$ - координаты центра сферы, а $r$ - радиус сферы.

Давайте приведем исходное уравнение к каноническому виду уравнения сферы.

$x^2 + y^2 - 12y + z^2 - 12z = 4$

Перепишем выражение, полностью группируя переменные $x$, $y$ и $z$:

$x^2 + (y^2 - 12y) + (z^2 - 12z) = 4$

Для завершения квадратов внутри скобок, нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $y$ и при $z$ соответственно. Половина коэффициента при $y$ равна $-12/2 = -6$, а половина коэффициента при $z$ равна $-12/2 = -6$. Добавим и вычтем квадраты этих половин:

$x^2 + (y^2 - 12y + 6^2) + (z^2 - 12z + 6^2) - 6^2 - 6^2 = 4$

Раскроем скобки:

$x^2 + (y - 6)^2 + (z - 6)^2 - 36 - 36 = 4$

Упростим выражение:

$x^2 + (y - 6)^2 + (z - 6)^2 = 80$

Теперь у нас получилось уравнение в канонической форме уравнения сферы, где $(a, b, c) = (0, 6, 6)$ - координаты центра сферы, а $r^2 = 80$ - квадрат радиуса сферы.

Таким образом, уравнение $x^2 + y^2 - 12y + z^2 - 12z = 4$ является уравнением сферы с центром в точке $(0, 6, 6)$ и радиусом $\sqrt{80}$.