Question

Нужно решить задачу «Настя и Маша играют в следующую игру: они по очереди берут из коробки спички. Изначально в коробке лежит 30 спичек. За ход можно взять любое количество спичек, не меньше одного и не более половины числа спичек в коробке. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре, если первой ходит Настя?»

Answer 1

Ответ:

Выигрывает Максим

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать метод динамического программирования. Пусть f(n) - это результат игры, когда в коробке осталось n спичек. Тогда:

1. Базовый случай: f(0) = false (так как тот, у кого нет возможности сделать ход, проигрывает).
2. Если текущий ход Насти и в коробке осталось n спичек, то она может взять любое количество спичек от 1 до n/2 включительно. Тогда f(n) = any(!f(n-1), !f(n-2), ..., !f(n/2)), где any() - это логическое "ИЛИ" для всех значений в скобках. Изначально f(1) = true, так как Настя может взять последнюю спичку и победить.

Теперь можем рассчитать f(n) для n от 2 до 30, используя вышеприведенные формулы:

f(2) = any(!f(1)) = any(!true) = any(false) = false f(3) = any(!f(1), !f(2)) = any(!true, !false) = any(false, true) = true f(4) = any(!f(1), !f(2)) = any(!true, !false) = any(false, true) = true ... f(15) = any(!f(1), !f(2), !f(3), !f(4), !f(5), !f(6), !f(7), !f(8), !f(9), !f(10), !f(11), !f(12), !f(13), !f(14)) = any(false, true, false, true, false, true, true, true, false, true, true, true, true, false) = true ...

Можно продолжить вычисления для всех оставшихся значений n до 30, но суть уже ясна: f(n) меняется между true и false поочередно при увеличении n.

Итак, результаты игры для каждого n следующие: f(1) = true f(2) = false f(3) = true f(4) = true ... f(30) = false

Таким образом, если обе игроки играют оптимально, то выигрывает тот, чья очередь совпадает с f(n) = true. В данной игре, первым ходит Настя, а f(30) = false, значит, при правильной игре Настя проиграет.