Question

Юра выписал вряд все натуральные числа от 1 до 1000000. Затем вычеркнул все числа, которые делятся либо на 3, либо на 7. Какое число будет двухтысячным по величине среди невычеркнутых чисел?​

Answer 1

Пусть это число N. Натуральных чисел от 1 до N всего N-1+1=N.

Кол-во натуральных чисел, не больших N, которые делятся на x, равно $\left[\dfrac{N}{x}\right]$, где $[A] -$ целая часть числа A.

Тогда, по формуле включения исключений, кол-во вычеркнутых чисел среди натуральных, не больших N, равно $\left[\dfrac{N}{3}\right]+\left[\dfrac{N}{7}\right]-\left[\dfrac{N}{21}\right]$.

Тогда

$N=2000+\left[\dfrac{N}{3}\right]+\left[\dfrac{N}{7}\right]-\left[\dfrac{N}{21}\right]\\ N=2000+\dfrac{N}{3}-\left\{\dfrac{N}{3}\right\}+\dfrac{N}{7}-\left\{\dfrac{N}{7}\right\}-\dfrac{N}{21}+\left\{\dfrac{N}{21}\right\}\\ \dfrac{4}{7}N-2000=\left\{\dfrac{N}{21}\right\}-\left\{\dfrac{N}{3}\right\}-\left\{\dfrac{N}{7}\right\}$

где $\{A\}$ - дробная часть числа A, $\{A\}\in[0;1), \: A=[A]+\{A\}$

Тогда

$0-1-1=-2$

$3498\vdots3,\;3501\vdots 3,\;3500\vdots 7=>N\neq3498,\;N\neq3500,\;N\neq3501$

Остается проверить 2 числа.

$\left[\dfrac{3497}{3}\right]+\left[\dfrac{3497}{7}\right]-\left[\dfrac{3497}{21}\right]=1165+499-166=1498\neq 3497-2000$  - не подходит

$\left[\dfrac{3499}{3}\right]+\left[\dfrac{3499}{7}\right]-\left[\dfrac{3499}{21}\right]=1166+499-166=1499= 3497-2000$ - верно.

Ответ: 3499

Answer 2

Давайте рассмотрим, какие числа будут вычеркнуты:

Числа, которые делятся на 3, образуют арифметическую прогрессию с шагом 3: 3, 6, 9, 12, и так далее. Числа, которые делятся на 7, образуют арифметическую прогрессию с шагом 7: 7, 14, 21, 28, и так далее. Для того чтобы найти количество чисел, которые будут вычеркнуты из диапазона от 1 до 1000000, нам нужно найти количество чисел в каждой из прогрессий и вычесть их из общего количества чисел в этом диапазоне.

Количество чисел в прогрессии, делящейся на 3: Количество членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формулы: количество членов = (последний член - первый член) / шаг + 1. Последний член прогрессии, не превышающий 1000000, будет равен: 999999 (1000000 - 1). Таким образом, количество чисел, делящихся на 3: (999999 - 3) / 3 + 1 = 333333.

Количество чисел в прогрессии, делящейся на 7: Последний член прогрессии, не превышающий 1000000, будет равен: 999995 (1000000 - 5). Таким образом, количество чисел, делящихся на 7: (999995 - 7) / 7 + 1 = 142856.

Теперь найдем общее количество чисел, которые будут вычеркнуты: Общее количество вычеркнутых чисел = количество чисел, делящихся на 3 + количество чисел, делящихся на 7 - количество чисел, делящихся на 3 и 7 (числа, делящиеся на 21). Общее количество вычеркнутых чисел = 333333 + 142856 - (999995 - 21) / 21 + 1 = 428570.

Теперь, чтобы найти число, которое будет двухтысячным по величине среди невычеркнутых чисел, нам нужно найти 2000-е невычеркнутое число. Для этого найдем 2000-е число, исключив вычеркнутые числа из полного списка.

Общее количество невычеркнутых чисел: 1000000 - 428570 = 571430.

Таким образом, 2000-е невычеркнутое число будет находиться в исходном списке чисел от 1 до 1000000 под номером 571430.