Question

В интернете нет справочной информации сегодня, что все числа в виде: корня кубического из числа 2, корня 5-степени из числа 2, ...,корня 2*n+1 из числа 2 являются иррациональными.Хотя судя по решаемой Вами задачи для корня кубического из числа 2 это так.

Answer 1

Ответ:

докажем, что число нельзя представить в виде несократимой дроби.

Пошаговое объяснение:

если корень степени х из 2 рационален, то его можно представить в виде несократимой дроби p/q. Докажем, что эта дробь сократима.

(p/q)^x=2.

p^x/q^x=2

p^x=2*(q^x)

тогда p^x - чётно.

целое число p^x можно разложить на простые множители, среди которых будет число 2. и разложение будет выглядеть как х одинаковых наборов чисел, являющихся делителями р. следовательно, р-чётно. тогда р=2k. тогда (2^x)(k^x)= (2k)^x=p^x=2(q^x)

если х>1, то поделим обе части равенства на 2

(2^(x-1))(k^x)=q^x

значит и q^x - чётно. значит и q - чётно. q=2t.

p/q=2k/2t=k/t. дробь сократима, значит допущение о том, что число рационально, неверно.

Answer 2

Действительно, корень кубический из числа 2 (обозначается как ∛2) является иррациональным числом. Это можно легко доказать методом от противного.

Предположим, что ∛2 является рациональным числом, то есть его можно представить в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, и q не равно нулю. При этом p/q должно быть несократимой дробью.

Тогда возведем обе части уравнения (∛2)^3 = 2 в куб: (p/q)^3 = 2.

По свойствам степеней и дробей получим: p^3 = 2q^3.

Это означает, что p^3 является четным числом, и следовательно, p также является четным числом (так как куб четного числа дает четное число). Пусть p = 2k, где k - некоторое целое число.

Подставим это обратно в уравнение: (2k)^3 = 2q^3, 8k^3 = 2q^3, 4k^3 = q^3.

Это означает, что q^3 является четным числом и, следовательно, q также является четным числом.

Таким образом, мы получили, что и p, и q являются четными числами, что противоречит нашему изначальному предположению о несократимости дроби p/q. Это доказывает, что ∛2 является иррациональным числом.

Аналогичные доказательства можно провести и для других корней вида √(2n+1), где n - натуральное число. Эти корни также будут иррациональными числами.