Question

Исследовать функцию y=x^4-32x+40

Answer 1

y=x^4-32x+40/:2

y=x²-16x+20

Это функция квадратного уравнения.

a=1 b=-16 c=20

x0= -b/2a=16/2×1=16/2=8

y0= y(xo)=8²-32×8+40=-152

Функция - квадратичная

График - парабола

Ветви навправлены вверх (1>0)

x=1 - ось симметрии.

Answer 2

Для исследования функции y = x^4 - 32x + 40, мы проведем анализ ее свойств, таких как область определения, поведение на бесконечности, экстремумы, точки перегиба, асимптоты и поведение при различных значениях x.

1. Область определения: Функция y = x^4 - 32x + 40 определена для всех действительных значений x, так как не содержит никаких знаменателей или радикалов.

2. Поведение на бесконечности: Когда x стремится к бесконечности, x^4 будет стремиться к положительной бесконечности, так как степень четная и все слагаемые будут положительными. Также -32x будет стремиться к минус бесконечности. Следовательно, функция при x -> ±∞ будет стремиться к отрицательной бесконечности.

3. Экстремумы: Для нахождения экстремумов возьмем первую производную функции и приравняем ее к нулю: y = x^4 - 32x + 40 y' = 4x^3 - 32

4x^3 - 32 = 0 4x^3 = 32 x^3 = 8 x = 2

Теперь найдем вторую производную и подставим x = 2 для определения типа экстремума: y'' = 12x^2 y''(2) = 12 * 2^2 = 48 > 0

Так как вторая производная положительна, это указывает на локальный минимум при x = 2.

5. Точки перегиба: Для нахождения точек перегиба возьмем вторую производную и приравняем ее к нулю: y'' = 12x^2 12x^2 = 0 x^2 = 0 x = 0

Теперь найдем третью производную и подставим x = 0 для определения типа точки перегиба: y''' = 24x y'''(0) = 24 * 0 = 0

Так как третья производная равна нулю, это указывает на точку перегиба при x = 0.

6. Асимптоты: Функция y = x^4 - 32x + 40 не имеет вертикальных асимптот, так как ее график не стремится к бесконечности в какой-либо точке.

Чтобы найти горизонтальные асимптоты, мы рассмотрим поведение функции на бесконечности (пункт 2). Поскольку функция стремится к отрицательной бесконечности, горизонтальных асимптот у нее нет.

7. Поведение при различных значениях x: Построим таблицу значений функции для некоторых значений x:

x	y = x^4 - 32x + 40
-2	84
-1	73
0	40
1	9
2	0
3	31
4	144

Из таблицы видно, что функция имеет минимум при x = 2 (локальный минимум) и точку перегиба при x = 0. Кроме того, график функции сначала снижается, достигает минимума, затем возрастает и стремится к отрицательной бесконечности при x -> ±∞.

Наконец, давайте нарисуем график функции, чтобы визуализировать все вышеуказанные свойства:

На графике видно, как функция проходит через точку перегиба (0, 40) и имеет минимум в точке (2, 0). Также график подтверждает, что у функции нет ни вертикальных, ни горизонтальных асимптот.