Question

Если функция y(x) непрерывна в точке a, то в этой точке она: 1) имеет дифференциал; 2) имеет производную; 3) ничего нельзя сказать о существовании производной или дифференциала.

Answer 1

Ответ: ничего сказать нельзя.

Пошаговое объяснение:

Ничего сказать нельзя. Например, функция f(x)=/x/ (модуль икс) непрерывна в точке x=a=0, однако производной (и соответственно дифференциала) в этой точке она не имеет. Понятие непрерывности шире понятие дифференцируемости, поэтому если функция дифференцируема в некоторой точке, то она в ней необходимо непрерывна; обратное же не верно.

Answer 2

Если функция y(x) непрерывна в точке a, то ничего нельзя сказать о существовании производной или дифференциала в этой точке. Непрерывность функции означает, что ее значения близки к значению в точке a при достаточно малом приращении x. Однако это не гарантирует существования производной или дифференциала в этой точке. Для существования производной требуется, чтобы предел разности функции в точках, близких к a, и их приращений стремился к конечному значению при стремлении приращения к нулю. Аналогично, для существования дифференциала требуется, чтобы функция была дифференцируема в окрестности точки a.