Question

Найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами у"-3y'+2y=(2х+5)e^3x

Answer 1

Составим характеристическое уравнение:

$\lambda^2-3\lambda+2=0=>\lambda=2\;\;\;\;\;\;\;\;\lambda=1\\ x_{oo}=C_1e^{2x}+C_2e^x$

Будем искать частное решение в виде $y=(Ax+B)e^{3x}$

$y'=Ae^{3x}+3(Ax+B)e^{3x}=(A+3B)e^{3x}+3Axe^{3x}\\y''=3Ae^{3x}+3((A+3B)e^{3x}+3Axe^{3x})=(6A+9B)e^{3x}+9Axe^{3x}\\ (6A+9B)e^{3x}+9Axe^{3x}-3((A+3B)e^{3x}+3Axe^{3x})+2(Ax+B)e^{3x}=(2x+5)e^{3x}\\ (6A+9B-3A-9B+2B)e^{3x}+(9A-9A+2A)xe^{3x}=(2x+5)e^{3x}\\ (3A+2B)e^{3x}+2Axe^{3x}=(2x+5)e^{3x}\\ 2A=2=>A=1=>3+2B=5=>B=1=>\\ y_{r_H}=(x+1)e^{3x}\\ y_o=C_1e^{2x}+C_2e^x+(x+1)e^{3x}$

Answer 2

Чтобы найти решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, данного вида:

у'' - 3y' + 2y = (2x + 5)e^(3x)

сначала найдём решение соответствующего однородного уравнения:

у'' - 3y' + 2y = 0

Для этого предположим, что решение имеет вид y = e^(mx), где m - некоторая постоянная. Подставим это предположение в однородное уравнение:

(m^2 - 3m + 2)e^(mx) = 0

Поскольку e^(mx) никогда не равно нулю, то выражение в скобках должно быть равно нулю:

m^2 - 3m + 2 = 0

Это квадратное уравнение имеет два корня: m1 = 1 и m2 = 2. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h = C1e^x + C2e^(2x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения. Поскольку правая часть имеет вид (2x + 5)e^(3x), предположим, что частное решение имеет вид y_p = (Ax + B)e^(3x), где A и B - некоторые постоянные. Подставим это предположение в уравнение и решим его:

(18A - 9A + 2Ax + 2B + 6B)e^(3x) = (2x + 5)e^(3x)

(9A + 2Ax) + (8B + 6B)e^(3x) = (2x + 5)e^(3x)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах, получим следующую систему уравнений:

9A + 2Ax = 2x (1) 8B + 6B = 5 (2)

Из уравнения (2) получаем B = 5/14. Подставим это значение в уравнение (1) и сравним коэффициенты при x:

9A + 2Ax = 2x

2A = 2

A = 1

Таким образом, получаем частное решение y_p = (x + 5/14)e^(3x).

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

y = y_h + y_p = C1e^x + C2e^(2x) + (x + 5/14)e^(3x),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.