Question

Используя признаки делимости,докажите,что дробь можно сокраить,и сократите её А)312/384; Б)333/1386

Answer 1

312/384=312:8/384:8=39:3/48:3=13/16.

312 делится на 8 (если три последние цифры составляют число, делящееся на 8) - то же самое с 384, 39 и 48 делятся на 3 (3+9=12, 4+8=12), 13 и 16 - взаимно простые числа.

333/1386=37/154.

333 делится на 9 (3+3+3=9), 1386 также делится на 9(1+3+8+6=18). 37 и 154 - взаимно простые числа.

4550/750=455/75=91/15.

4550 и 750 делятся на 10 (оканчиваются на 0), 455 и 75 делятся на 5 (оканчиваются на 5), 91 и 15 - взаимно простые числа.

315/84=105/28=15/4.

315 и 84 делятся на 3 (3+1+5=9, 8+4=12), 105 и 28 делятся на 7

Answer 2

Для доказательства, что дробь можно сократить, мы должны исследовать её числитель и знаменатель на наличие общих делителей (кроме 1). Если такие общие делители есть, то дробь можно сократить, поделив числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) этих чисел.

НОД - это наибольшее число, на которое можно одновременно делить оба числа без остатка.

Давайте рассмотрим каждый из примеров:

А) 312/384: Чтобы найти НОД для 312 и 384, мы можем использовать алгоритм Евклида. Этот алгоритм заключается в последовательном делении чисел до тех пор, пока не получится ноль.

Шаг 1: 384 ÷ 312 = 1, остаток 72 Шаг 2: 312 ÷ 72 = 4, остаток 0

Таким образом, НОД(312, 384) = 72.

Поскольку у нас есть общий делитель (72), мы можем сократить дробь:

312 ÷ 72 = 4 384 ÷ 72 = 5

Итак, дробь 312/384 равна 4/5 в наименьшем виде.

Б) 333/1386: Давайте найдем НОД для 333 и 1386 с помощью алгоритма Евклида:

Шаг 1: 1386 ÷ 333 = 4, остаток 114 Шаг 2: 333 ÷ 114 = 2, остаток 105 Шаг 3: 114 ÷ 105 = 1, остаток 9 Шаг 4: 105 ÷ 9 = 11, остаток 6 Шаг 5: 9 ÷ 6 = 1, остаток 3 Шаг 6: 6 ÷ 3 = 2, остаток 0

Таким образом, НОД(333, 1386) = 3.

Мы нашли общий делитель (3), поэтому мы можем сократить дробь:

333 ÷ 3 = 111 1386 ÷ 3 = 462

Итак, дробь 333/1386 равна 111/462 в наименьшем виде.

Таким образом, после сокращения:

А) 312/384 = 4/5 Б) 333/1386 = 111/462