Question

9. Докажите, что: а) прибавив к произведению двух последовательных натуральных большее из них, получим квадрат большего числа; б) разность кубов двух последовательных целых чисел на 3 не делится, В) при делении квадрата нечётного числа на 8 в остатке остаётся 1. Доказательство каждого предложения обоснуйте на примерах. 10. Выполняя представленный ниже алгоритм, разложите многоч. жите многочлен 3а2 + 6а - 9 на множители. 1 и осного опонена р есите по екоби обиий множитель 3:

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

возьмем число n ∈ N запишем произведение этого числа следующего за ним(n+1). Затем прибавим к произведению большее из этой пары:

a) n*(n+1)+n+1=n^2+2+n+1=(n+1)^2

пример: числа 6 и 7

6*7+7=49 и 7^2=49

б) n^3 - (n+1)^3=n^3-(n^+3n^2+3n+1)=n^3-n^3-3n^2-3n-1=

=3n^2+3n+1=3n(n+1)+1

[3n(n+1)+1] :3=n(n+1)+1/3

т.е. при делении на 3 получаем остаток 1. Следовательно: число не делится на три нацело.

Пример: числа 5 и 6

5^3=125; 6^3=216 216-125=91 91:3=30 и 1 в остатке

в) Нечетное число запишем, как 2n+1, где n ∈ N, тогда:

(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1

[4n(n+1)+1]:8=[4n(n+1)+1]:4:2

Число n(n+1) – всегда четное, т.е. делится на 2 без остатка, т.е. число 4n(n+1) делится на 4*2 без остатка, а в остатке 1!

Пример: число 7 (нечетное); 7^2=49; 49:8=6*8 ост.1.

Answer 2

Для доказательства каждого из утверждений нам понадобятся математические доказательства. Перейдем к каждому утверждению по порядку:

а) Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа: n и n+1 (n, n+1 - натуральные числа). Мы хотим доказать, что (n+1) * n + n - это квадрат числа (n+1), то есть (n+1)^2.

Докажем это алгебраически: (n+1) * n + n = n^2 + n + n = n^2 + 2n.

Чтобы доказать, что это равно (n+1)^2, раскроем квадрат (n+1)^2: (n+1)^2 = (n+1)(n+1) = n^2 + n + n + 1 = n^2 + 2n + 1.

Мы видим, что (n+1) * n + n = n^2 + 2n = (n+1)^2. Значит, прибавив к произведению двух последовательных натуральных чисел большее из них, мы получаем квадрат этого большего числа.

б) Теперь докажем утверждение о разности кубов двух последовательных целых чисел.

Пусть у нас есть два последовательных целых числа: n и n+1 (n, n+1 - целые числа). Мы хотим доказать, что (n+1)^3 - n^3 не делится на 3.

Докажем это алгебраически: (n+1)^3 - n^3 = (n+1)(n+1)(n+1) - n^3 = (n^2 + 2n + 1)(n+1) - n^3 = n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n + n + 1 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1.

Заметим, что 3n^2 + 3n + 1 - это выражение, которое не делится на 3 без остатка. Например, если подставить любое целое число n, мы получим число, которое не делится на 3 (остаток будет 1).

В) Покажем теперь, что при делении квадрата нечетного числа на 8 в остатке остается 1.

Пусть у нас есть нечетное число 2n+1 (n - целое число, так как 2n - четное, а к нему мы прибавляем 1, чтобы получить нечетное). Мы хотим доказать, что (2n+1)^2 при делении на 8 дает остаток 1.

Докажем это алгебраически: (2n+1)^2 = (2n+1)(2n+1) = 4n^2 + 2n + 2n + 1 = 4n^2 + 4n + 1.

Заметим, что 4n^2 + 4n - это выражение, которое делится на 8 без остатка, так как каждый член кратен 4. А остаток 1, который остается при делении, это остаток от единицы.

Теперь перейдем к разложению многочлена на множители.

10. Разложение многочлена 3а^2 + 6а - 9 на множители: Многочлен 3а^2 + 6а - 9 уже является полным квадратным трехчленом, поскольку его первый член имеет степень 2 (а^2), второй член имеет степень 1 (а), а третий член - свободный член (константа).

Мы можем разложить его на множители, полагаясь на формулу для разложения квадратного трехчлена:

a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2.

В нашем случае, коэффициент перед a^2 равен 3, а перед а равен 6. Чтобы привести многочлен к форме квадрата, давайте вынесем общий множитель у первых двух членов, равный 3а:

3а^2 + 6а - 9 = 3(a^2 + 2a) - 9.

Теперь, чтобы получить квадрат, давайте добавим и вычтем квадрат заведомо половины второго члена, то есть (2a)^2 = 4a^2:

3а^2 + 6а - 9 = 3(a^2 + 2a + 4a^2 - 4a^2) - 9.

Группируем первые три члена:

3а^2 + 6а - 9 = 3((a^2 + 2a + 4a^2) - 4a^2) - 9.

Теперь выделяем квадрат:

3а^2 + 6а - 9 = 3((a + 2a)^2 - 4a^2) - 9.

Продолжаем упрощение:

3а^2 + 6а - 9 = 3(3a^2 - 4a^2) - 9.

Теперь, объединяя члены, получаем окончательный результат:

3а^2 + 6а - 9 = 3(-a^2) - 9.

Таким образом, многочлен 3а^2 + 6а - 9 разлагается на множители: 3(-a^2 - 3).