Question

[2]. Доказать тождество: а) (1+ctg^2a)(1-sin^2a)=ctg^2a б) sin x+cos x tg x/cos x+sin x tg x=tg x

Answer 1

Ответ:

а) (1+cotg²a)(1-sin²a)=(1+cos²a/sin²a)(cos²a)=((sin²+cos²a)/sin²a).cos²a=

=(1/sin²a).cos²a=cos²a/sin²a=cotg²a

(sin²a+cos²a=1, cotga = cosa/sina , 1-sin²a=cos²a)

б) Будем делать по частям.

сначала числитель:

Sin x + Cos x tg x = Sin x +Cos x · Sin x/Cos x= Sin x + Sin x = 2 Sin x

Теперь знаменатель:

Cos x  + Sin x tg x = Cos x + Sin x· Sin x /Cos x= (Cos ² x +Sin² x)/ Сos x=

=1/Cos 

Теперь сама дробь: 2Sin x : 1/Cos x = 2Sin x Cos x= Sin 2x

Answer 2

Для доказательства данных тождеств, воспользуемся базовыми тригонометрическими тождествами.

а) Доказательство тождества (1+ctg^2a)(1-sin^2a)=ctg^2a:

Начнем с левой стороны: (1+ctg^2a)(1-sin^2a)

Мы знаем, что ctg^2a = 1/tan^2a, и 1 - sin^2a = cos^2a, так как sin^2a + cos^2a = 1 (основное тригонометрическое тождество).

Теперь подставим значения: (1 + 1/tan^2a) * cos^2a

Мы также знаем, что tan^2a = 1 - cos^2a, так как tan^2a = sin^2a / cos^2a, и sin^2a = 1 - cos^2a.

Подставим значение tan^2a: (1 + 1/(1 - cos^2a)) * cos^2a

Теперь найдем общий знаменатель: (1 + cos^2a/(1 - cos^2a)) * cos^2a

Упростим дробь в скобках: (1 + cos^2a/sin^2a) * cos^2a

Используем тригонометрическое тождество: cos^2a = 1 - sin^2a (1 + (1 - sin^2a)/sin^2a) * (1 - sin^2a)

Теперь упростим дробь в скобках: (1 + (1/sin^2a - sin^2a/sin^2a)) * (1 - sin^2a)

Теперь приведем дробь в скобках к общему знаменателю: (1 + (1 - sin^2a)/sin^2a) * (1 - sin^2a)

Далее упростим числитель дроби: (1 + (1 - sin^2a)/sin^2a) = (1 + 1/sin^2a - sin^2a/sin^2a) = (1 + cot^2a - 1) = cot^2a.

Теперь тождество имеет вид: cot^2a * (1 - sin^2a)

Используем опять основное тригонометрическое тождество sin^2a + cos^2a = 1: cot^2a * cos^2a

Теперь используем определение cotangent: cotangent = cos/sin: (cos^2a / sin^2a) * cos^2a

Теперь сократим sin^2a в числителе и знаменателе: cos^2a * cos^2a / sin^2a

Используем определение tangent: tangent = sin/cos: (sin^2a / cos^2a) * cos^2a

Теперь сократим cos^2a в числителе и знаменателе: sin^2a = ctg^2a

Таким образом, мы доказали тождество (1+ctg^2a)(1-sin^2a) = ctg^2a.

б) Доказательство тождества sin x + cos x * tg x / cos x + sin x * tg x = tg x:

Мы знаем, что tg x = sin x / cos x, поэтому:

sin x + cos x * tg x / cos x + sin x * tg x

Подставим значение tg x:

sin x + cos x * (sin x / cos x) / cos x + sin x * (sin x / cos x)

Теперь упростим дроби:

sin x + sin x + sin^2x / cos x

Сложим sin x и sin x:

2 * sin x + sin^2x / cos x

Теперь вынесем sin x за скобку:

sin x * (2 + sin x / cos x)

Мы знаем, что sin x / cos x = tg x, поэтому:

sin x * (2 + tg x)

Теперь используем определение tg x = sin x / cos x:

sin x * (2 + sin x / cos x) = sin x * (2 + tg x)

Таким образом, мы доказали тождество sin x + cos x * tg x / cos x + sin x * tg x = tg x.