Question

Y=(3x⁵-5/x³-2)⁵ Найти производные заданной функции

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=(\frac{3x^5-5}{x^3-2})^5\\y'=5(\frac{3x^5-5}{x^3-2})^4*\frac{15x^4(x^3-2)-(3x^5-5)*3x^2}{(x^3-2)^2}=\frac{5(3x^5-5)^4*(6x^7-30x^4+15x^2)}{(x^3-2)^6}$

Answer 2

Для того чтобы найти производные заданной функции Y=(3x⁵-5/x³-2)⁵, нам понадобится применить несколько разных правил дифференцирования. Давайте последовательно найдем производные по переменной x.

1. Начнем с внутренней функции u = (3x⁵ - 5)/(x³ - 2).

2. Найдем производную внутренней функции u по переменной x:

   du/dx = d/dx [(3x⁵ - 5)/(x³ - 2)]

   Для нахождения производной дробной функции, воспользуемся правилом дифференцирования частного:

   du/dx = [(x³ - 2) * d/dx(3x⁵ - 5) - (3x⁵ - 5) * d/dx(x³ - 2)] / (x³ - 2)²

   Посчитаем производные в числителе: d/dx(3x⁵ - 5) = 15x⁴ (производная монома 3x⁵ по x) d/dx(x³ - 2) = 3x² (производная монома x³ по x)

   Подставим найденные значения в формулу производной:

   du/dx = [(x³ - 2) * 15x⁴ - (3x⁵ - 5) * 3x²] / (x³ - 2)²

3. Теперь найдем производную внешней функции Y по переменной u, затем умножим её на производную внутренней функции du/dx:

   dY/du = 5u⁴

   dY/dx = dY/du * du/dx = 5u⁴ * [(x³ - 2) * 15x⁴ - (3x⁵ - 5) * 3x²] / (x³ - 2)²

4. Наконец, подставим внутреннюю функцию u = (3x⁵ - 5)/(x³ - 2) в полученное выражение:

   dY/dx = 5[(3x⁵ - 5)/(x³ - 2)]⁴ * [(x³ - 2) * 15x⁴ - (3x⁵ - 5) * 3x²] / (x³ - 2)²

Это и есть производная функции Y=(3x⁵-5/x³-2)⁵ по переменной x. Если необходимо, вы можете упростить выражение, но оно уже довольно сложное.