Question

Найти корни уравнения z^3=i

Answer 1

Ответ:Извлечем корень третьей степени из -i

z=-i = cos(-pi/2) + i*sin(-pi/2)

z^(1/3) = (cos(-pi/2) + i*sin(-pi/2))^(1/3)

z1 = cos(-pi/6) + i*sin(-pi/6) = sqrt(3) / 2 -i *1/2

z2 = cos((-pi/2 +2pi)/3) + i*sin((-pi/2+2pi)/3) = i

z3 = cos((-pi/2 +4pi)/3) + i*sin((-pi/2+4pi)/3) = -sqrt(3)/2 - i*1/2

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти корни уравнения $z^3 = i$, мы должны решить это уравнение в комплексных числах $z$. Для этого удобно представить $i$ в тригонометрической форме.

Комплексные числа в тригонометрической форме имеют вид $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$, где $r$ - модуль комплексного числа $z$, $\theta$ - его аргумент (угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим точку комплексной плоскости с началом координат).

Для $i$ в тригонометрической форме: $i = 1(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2}))$

Теперь возведем в степень 3: $i^3 = (1(\cos(\frac{\pi}{2}) + i\sin(\frac{\pi}{2})))^3$

С помощью формулы Бинома Ньютона, раскроем куб: $i^3 = 1^3(\cos(3\frac{\pi}{2}) + i\sin(3\frac{\pi}{2}))$

Таким образом, $i^3 = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Теперь у нас есть значение $i^3$ в тригонометрической форме. Для нахождения корней уравнения $z^3 = i$, мы должны найти комплексные числа $z$, удовлетворяющие этому условию.

Кубические корни можно найти, используя формулу Муавра для корней $n$-ной степени комплексного числа:

$z_k = \sqrt[3]{r}(\cos(\frac{\theta + 2k\pi}{3}) + i\sin(\frac{\theta + 2k\pi}{3})),$

где $k = 0, 1, 2$, $r = |i| = 1$, и $\theta = \arg(i) = \frac{\pi}{2}$.

Подставляем значения: $z_0 = \sqrt[3]{1}(\cos(\frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}) + i\sin(\frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 0 \cdot \pi}{3}))$ $z_0 = \cos(\frac{\pi}{6}) + i\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$

$z_1 = \sqrt[3]{1}(\cos(\frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}) + i\sin(\frac{\frac{\pi}{2} + 2 \cdot 1 \cdot \pi}{3}))$ $z_1 = \cos(\frac{5\pi}{6}) + i\sin(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$