Question

Найти экстремумы функции a) f(x)=x³-2x²+x+3. б) f(x)=(2x-3)² помогите пожалуйста решить срочно!!!​

Answer 1

(xⁿ)' = nx^n-1

1)f'(x) = 3x²-4x+1

3x²-4x+1 = 0

a+b+c = 0:

x1 = 1

x2 = c/a = 1/3

f(1) = 3

f(1/3) = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 85/27

2)f'(x)= 2(2x-3)•2 = 4(2x-3)

4(2x-3) = 0

(2x-3) = 0

2x = 3

x = 1.5

f(1.5) = 0

Answer 2

Для нахождения экстремумов функции необходимо найти ее производную и найти значения аргументов, при которых производная равна нулю.

а) Найдем экстремумы функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3:

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f(x) = x³ - 2x² + x + 3

f'(x) = d/dx(x³) - d/dx(2x²) + d/dx(x) + d/dx(3)

f'(x) = 3x² - 4x + 1

Шаг 2: Найдем значения x, при которых производная равна нулю (это могут быть точки экстремума): 3x² - 4x + 1 = 0

Это квадратное уравнение можно решить с помощью факторизации или квадратного уравнения. Здесь воспользуемся факторизацией:

(3x - 1)(x - 1) = 0

Отсюда получаем два значения x:

1. 3x - 1 = 0 => x = 1/3
2. x - 1 = 0 => x = 1

Шаг 3: Проверим, являются ли найденные значения x точками экстремума. Для этого построим знаки производной f'(x) в окрестностях этих точек:

Проверка для x = 1/3: f'(x) = 3(1/3)² - 4(1/3) + 1 = 1/3 - 4/3 + 1 = -2/3 (отрицательное)

Проверка для x = 1: f'(x) = 3(1)² - 4(1) + 1 = 3 - 4 + 1 = 0 (равно нулю)

Шаг 4: Итак, у нас есть две точки, в которых производная равна нулю. При этом, точка x = 1 является точкой перегиба, так как производная здесь равна нулю и меняет знак. Таким образом, нашей точкой экстремума будет x = 1/3.

Шаг 5: Найдем значение функции в этой точке для определения типа экстремума: f(1/3) = (1/3)³ - 2(1/3)² + 1/3 + 3 = 1/27 - 2/9 + 1/3 + 3 = 1/27 - 6/27 + 9/27 + 3 = 13/27

Ответ: Точка экстремума у функции f(x) = x³ - 2x² + x + 3 находится при x = 1/3, и ее значение равно 13/27.

б) Найдем экстремумы функции f(x) = (2x - 3)²:

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x): f(x) = (2x - 3)²

Применим правило цепной дифференциации (дифференцирование сложной функции): f'(x) = 2(2x - 3) * d/dx(2x - 3)

f'(x) = 2(2x - 3) * 2

f'(x) = 4(2x - 3)

Шаг 2: Найдем значение x, при котором производная равна нулю:

4(2x - 3) = 0

Это линейное уравнение, которое решается следующим образом:

2x - 3 = 0

2x = 3

x = 3/2

Шаг 3: Проверим, является ли найденное значение x точкой экстремума, проверив знак производной в окрестности этой точки:

Проверка для x = 3/2: f'(x) = 4(2(3/2) - 3) = 4(3 - 3) = 4(0) = 0

Так как производная равна нулю, мы не можем однозначно сказать, является ли эта точка экстремумом.

Шаг 4: Чтобы определить тип экстремума (минимум или максимум) в точке x = 3/2, давайте посмотрим на выпуклость функции.

f''(x) - это вторая производная функции f(x). Если f''(x) > 0 в точке x, то это будет минимум, а если f''(x) < 0, то это будет максимум.

Шаг 5: Найдем вторую производную функции f(x): f'(x) = 4(2x - 3)

f''(x) = d/dx(4(2x - 3))

f''(x) = 8

Шаг 6: Проверим знак второй производной в точке x = 3/2:

f''(3/2) = 8 (положительное)

Таким образом, вторая производная положительная, и это говорит о том, что у нас есть минимум в точке x = 3/2.

Шаг 7: Найдем значение функции в этой точке для определения высоты минимума: f(3/2) = (2(3/2) - 3)² = (3 - 3)² = 0

Ответ: Точка экстремума у функции f(x) = (2x - 3)² находится при x = 3/2, и ее значение равно 0 (минимум).