Question

Четверо ребят при входе в театр кошек Ю.Куклачёва отдали свои шапки,а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шапку?

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Обозначим ребят A, B, C, D, а шапки 1, 2, 3, 4. Всего 4! = 24 варианта.

Нас интересуют те варианты, в которых букве А соответствует любая цифра, кроме 1; букве В - любая, кроме 2; букве С - любая, кроме 3, и букве D - любая, кроме 4.

A B C D

1 2 3 4 - A = 1

1 2 4 3 - A = 1

1 3 2 4 - A = 1

1 3 4 2 - A = 1

1 4 2 3 - A = 1

1 4 3 2 - A = 1

2 1 3 4 - C = 3

2 1 4 3 - подходит!

2 3 1 4 - D = 4

2 3 4 1 - подходит!

2 4 1 3 - подходит!

2 4 3 1 - C = 3

3 1 2 4 - D = 4

3 1 4 2 - подходит!

3 2 1 4 - B = 2

3 2 4 1 - B = 2

3 4 1 2 - подходит!

3 4 2 1 - подходит!

4 1 2 3 - подходит!

4 1 3 2 - C = 3

4 2 1 3 - B = 2

4 2 3 1 - B = 2

4 3 1 2 - подходит!

4 3 2 1 - подходит!

Как видим, всего подходит 9 вариантов из 24.

Answer 2

Предположим, что ребята обозначены буквами A, B, C и D, а их шапки обозначены соответственно как A', B', C' и D'. Чтобы каждый из них получил чужую шапку, нам нужно определить количество перестановок, при которых ни один из них не получит свою шапку обратно.

Существует формула, известная как формула Деррендорфа (или формула для размещений без повторений), которая позволяет рассчитать количество перестановок без фиксации элементов. Формула выглядит следующим образом:

N! - (N1! * N2! * ... * Nn!)

Где N - общее количество элементов, а N1, N2, ..., Nn - количество элементов каждого типа (в данном случае шапок).

В нашем случае N = 4 (ребята), N1 = 1 (шапка A'), N2 = 1 (шапка B'), N3 = 1 (шапка C') и N4 = 1 (шапка D').

Подставим значения в формулу:

4! - (1! * 1! * 1! * 1!) = 24 - 1 = 23

Таким образом, существует 23 варианта, при которых каждый из ребят получит чужую шапку.