Question

У=1/1-х^2 исследоват функции

Answer 1

$y = \dfrac{1}{1 - x^{2}}$

$1) \ D(y): \ 1 - x^{2} \neq 0; \ x^{2} \neq 1; \ x \neq \pm 1 \Rightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \ 1) \cup (1; +\infty)$

$2) \ y(-x) = \dfrac{1}{1 - (-x)^{2}} = \dfrac{1}{1 - x^{2}}$ — функция является четной и непериодической.

$3)$ Если $x = 0$, то $y = 1$, значит $(0; \ 1)$ — точка пересечения с осью ординат. Если $y = 0$, то есть $\dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$, то $x = \varnothing$, значит нет точек пересечения с осью абсцисс.

$4)$ Поскольку $x = 1$ и $x = -1$ — точки разрыва функции и $\underset{x\rightarrow -1}{\lim} \dfrac{1}{1 - x^{2}} = \infty$ и $\underset{x\rightarrow 1}{\lim} \dfrac{1}{1 - x^{2}} = \infty$, то  

Если $x\rightarrow -1, \ x < -1$, то $y \rightarrow +\infty$; если $x\rightarrow -1, \ x > -1$, то $y\rightarrow -\infty$

Если $x\rightarrow 1, \ x < 1$, то $y \rightarrow +\infty$; если $x\rightarrow 1, \ x > 1$, то $y\rightarrow -\infty$

Найдем наклонные асимптоты $(y = kx + b)$:

$k = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{y}{x} = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{x(1 - x^{2})} = 0$

Если $k = 0$, то имеем горизонтальную асимптоту. Найдем $b:$

$\underset{x\rightarrow \infty}{\lim}(y - kx) = \underset{x\rightarrow \infty}{\lim}\dfrac{1}{1 - x^{2}} = 0$

Следовательно, $y = 0$ — горизонтальная асимптота.

$5) \ y' = \left(\dfrac{1}{1 - x^{2}} \right)' = \dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}}$

Из уравнения $\dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} = 0$ имеем критическую точку функции: $x = 0$

Заполним таблицу №1 (см. вложение).

$6) \ y'' = \left(\dfrac{2x}{(1 - x^{2})^{2}} \right)' = \dfrac{2(1 - x^{2})^{2} + 8x^{2}(1 - x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} = \dfrac{2(1 - x^{2})(1 - x^{2} + 4x^{2})}{(1 - x^{2})^{4}} =\\= \dfrac{2(1 + 3x^{2})}{(1 - x^{2})^{3}} = \dfrac{2 + 6x^{2}}{(1 - x^{2})^{3}}$

Если $y'' = 0$, то $x = \varnothing$

Систематизируем данные, полученные по второй производной, в таблице №2 (см. вложение).

Для достоверности изобразим полученный график (см. вложение).

$7)$ Из рисунка видим, что $E(y): \ y \in (-\infty; \ 0) \cup [1; +\infty)$

Answer 2

Чтобы исследовать функцию, данную формулой У = 1/(1 - х^2), мы должны выполнить несколько шагов. Сначала найдем область определения функции, затем производные и точки пересечения с осями, далее точки экстремума и выпуклости/вогнутости, и наконец, нарисуем график.

1. Область определения (Domain): Функция определена для всех значений x, за исключением тех, которые делают знаменатель равным нулю. Таким образом, у нас есть два условия для области определения: 1 - х^2 ≠ 0 и x ≠ ±1. Решая уравнение 1 - х^2 ≠ 0, получаем х ≠ ±1.

Область определения функции: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, ∞).

2. Производные (Derivatives): Найдем производную функции У по переменной х:

У = 1/(1 - х^2) У' = d/dx(1/(1 - х^2))

Используем правило дифференцирования обратной функции: У' = -1/(1 - х^2)^2 * (-2х) У' = 2х/(1 - х^2)^2

3. Точки пересечения с осями (Intercepts): Чтобы найти точки пересечения с осями, решим уравнения У(x) = 0 и У(0):

У(x) = 1/(1 - х^2) = 0 1 - х^2 ≠ 0 х^2 ≠ 1 x ≠ ±1

Функция не имеет точек пересечения с осью y (т.е., нет У(0)), но имеет точки пересечения с осью х в x = -1 и x = 1.

4. Точки экстремума (Extrema): Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную У' к нулю и найдем соответствующие значения х:

2х/(1 - х^2)^2 = 0 2х = 0 x = 0

Проверим вторую производную для определения характера точки экстремума:

У'' = d/dx(2х/(1 - х^2)^2) У'' = 2/(1 - х^2)^2 - 8х^2/(1 - х^2)^3

Подставим х = 0 во вторую производную:

У''(0) = 2/(1 - 0)^2 - 8 * 0^2/(1 - 0)^3 У''(0) = 2

Так как У''(0) > 0, то x = 0 - точка минимума.

5. Выпуклость и вогнутость (Convexity and Concavity): Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости, нам нужно исследовать знак второй производной.

У'' = 2/(1 - х^2)^2 - 8х^2/(1 - х^2)^3

У''(x) > 0 на интервале (-∞, -1) и (1, ∞) - функция выпукла в этих интервалах. У''(x) < 0 на интервале (-1, 1) - функция вогнута в этом интервале.

6. График функции: На основе всех вышеуказанных исследований мы можем нарисовать график функции У = 1/(1 - х^2). Он будет иметь асимптоты в точках х = -1 и х = 1, пересекает ось х в этих точках, имеет точку минимума в х = 0 и меняет выпуклость на интервалах (-∞, -1), (-1, 0), и (0, ∞).

Для точности графика, рекомендуется использовать программное средство для построения графиков или калькулятор с возможностью визуализации функций.