Question

F(x) 3х^2 - 4х исследоват функцию и построить график

Answer 1

Вспоминайте.
Область определения: 
×∈(-∞;∞)

Исследование на монотонность и экстремум.
f' '(x)=(x^4-8x^2+3)'=4x^3-16x
4x^3-16x=0
x(4x^2-16)=0
x=0 или 
4x^2-16=0
4x^2=16
x^2=16/4
x^2=4
x=√4
x=+-2 - критические точки 1-го рода.
На графике промежутков: 
-----(-2)------(0)------(2)------->x
 
x 1.(-∞;-2) 2.(-2) 3.(-2;0) 4.(0) 5.(0;2) 6.(2) 7.(2;+∞)
f '(x) 1. (-)  2. (0) 3. (-) 4. (0) 5. (-) 6. (0) 7. (+) 
f(x) 1. (↓) 2. (-13) 3. (↓) 4. (3) 5. (↓) 6. (-13) 7. (↑)

(2;-13) - min

Функция возрастает на 
x∈[-2;0]u[2;∞)
Функция убывает на 
x∈(-∞;-2]u[0;2]

Исследование на выпуклости и точки перегиба
f '(x) = 4x^3-16x
f ''(x)=(4x^3-16x)'
f ''(x)=12x2^2-16
f ''(x)=4(3x^2-4)
x=4 или
3x^2-4=0
3x^2=4
x^2=4/3
x=+-√4/3 - критические точки 2-го рода

-----(-√4/3)----(√4/3)----(4)---->x

f 1. (-∞;-√4/3) 2. (-√4/3) 3. (-√4/3;√4/3) 4. (√4/3) 5. (√4/3;4) 6. (4) 7. (4;+∞) 
f ''(x) 1. (+) 2. (4.28) 3. (-) 4. (4.28) 5. (+) 6. (176) 7. (+)
f(x) 1. u 2. u 3. n 4. u 5. u 6. u 7. u

Точки перегиба
(-1,3;4.28)(1.3;4.28)(4;176)

Answer 2

Исследование функции f(x) = 3x^2 - 4x

Для исследования функции f(x) = 3x^2 - 4x и построения ее графика, мы можем провести анализ различных характеристик функции, таких как область определения, область значений, симметрия, экстремумы, асимптоты и поведение функции при изменении x.

Область определения

Область определения функции f(x) - это множество всех допустимых значений x, для которых функция определена. В данном случае, функция f(x) = 3x^2 - 4x является квадратичной функцией, и она определена для любого значения x.

Область значений

Область значений функции f(x) - это множество всех возможных значений, которые функция может принимать. Для квадратичной функции f(x) = 3x^2 - 4x, область значений будет зависеть от ветвей параболы, которую она представляет. Поскольку коэффициент при x^2 положительный (3 > 0), парабола будет направлена вверх, и функция f(x) будет иметь минимальное значение. Следовательно, область значений функции f(x) будет положительными значениями и нулем.

Симметрия

Для определения симметрии функции f(x) = 3x^2 - 4x, мы можем рассмотреть знак коэффициента при x в квадратичном члене. В данном случае, коэффициент при x^2 положительный (3 > 0), что означает, что парабола будет симметрична относительно вертикальной оси. Это означает, что функция f(x) будет иметь ось симметрии, проходящую через вершину параболы.

Экстремумы

Экстремумы функции f(x) - это точки, в которых функция достигает своих максимальных или минимальных значений. Для квадратичной функции f(x) = 3x^2 - 4x, экстремумы будут находиться в вершине параболы. Чтобы найти вершину параболы, мы можем использовать формулу x = -b / (2a), где a и b - коэффициенты при x^2 и x соответственно. В данном случае, a = 3 и b = -4. Подставляя значения в формулу, мы получаем x = -(-4) / (2 * 3) = 4 / 6 = 2 / 3. Затем, подставляя значение x в функцию f(x), мы можем найти соответствующее значение y. Таким образом, вершина параболы будет иметь координаты (2 / 3, f(2 / 3)).

Асимптоты

Асимптоты функции f(x) - это прямые, которые функция приближается, но никогда не пересекает. Для квадратичной функции f(x) = 3x^2 - 4x, нет горизонтальных или вертикальных асимптот, так как парабола не имеет ограничений в этих направлениях. Однако, у функции может быть наклонная асимптота. Чтобы найти наклонную асимптоту, мы можем использовать предел функции при x, стремящемся к бесконечности. В данном случае, предел функции f(x) при x, стремящемся к бесконечности, будет равен положительной бесконечности, так как коэффициент при x^2 положительный. Следовательно, у функции f(x) = 3x^2 - 4x нет наклонной асимптоты.

Поведение функции при изменении x

Для понимания поведения функции f(x) = 3x^2 - 4x при изменении x, мы можем рассмотреть знак функции в различных интервалах. Поскольку коэффициент при x^2 положительный (3 > 0), функция будет положительной в интервалах, где x находится между корнями параболы. Корни параболы можно найти, приравнивая функцию f(x) к нулю и решая уравнение 3x^2 - 4x = 0. Решая это уравнение, мы