Question

Пусть f - многочлен, а F - множество решений уравнения f(x) = х - совпадает с множеством решений уравнения f(f(x)) = x. Покажите, что множество решений уравнения f(f(...(x)...))=х совпадает с F.

Answer 1

Пусть $f_{n}(x)$ означает $f(f(...(x)...))$, где $f$ применена $n$ раз.

Поскольку $f$ многочлен, то у него есть значение в любой точке. (*)

Докажем утверждение по индукции.

База: $n=1$ - это то, что дано по условию.

Переход:

Пусть для некоторого $n=k$ верно; Докажем, что из этого следует справедливость утверждения и для $n=k+1$; Действительно, по предположению индукции множество решений уравнения $f_{k}(x)=x$ совпадает с $F$; Возьмем $f$ от обеих частей (благодаря (*) мы можем это сделать): $f(f_{k}(x))=f_{k+1}(x)=f(x)$; Но если сделать замену $f(x)=u$, получим $f_{k}(u)=u$; А множество решений этого уравнения лежит в $F$; Предположим, что есть некоторый элемент $y\in F$, такой, что для него не найдется $x$, чтобы $f(x)=y$; Тогда $f_{k}(y)\neq y$, но $y$ лежит в $F$, противоречие. Это завершает переход.

Answer 2

Для начала определим некоторые обозначения:

1. Пусть уравнение f(x) = x имеет множество решений F, т.е., если x принадлежит F, то f(x) = x.

2. Пусть уравнение f(f(x)) = x имеет множество решений G, т.е., если x принадлежит G, то f(f(x)) = x.

Нам нужно показать, что множество решений уравнения f(f(...(x)...)) = x совпадает с F.

Для этого докажем два утверждения:

Утверждение 1: Если x принадлежит F, то x также принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x.

Утверждение 2: Если x принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x, то x принадлежит F.

Доказательство:

Утверждение 1: Если x принадлежит F, то x также принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x.

Докажем это утверждение по индукции.

Базовый случай (n = 1): По определению F, если x принадлежит F, то f(x) = x. Тогда уравнение f(f(x)) = x принимает вид f(x) = x, что и есть определение F. Следовательно, базовый случай верен.

Индукционный переход: Предположим, что утверждение верно для n-1, т.е., если x принадлежит F, то x также принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x с n-1 вложенными функциями f.

Рассмотрим случай n. Если x принадлежит F, то по предположению индукции, x также принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x с n-1 вложенными функциями f. Это означает, что f(f(...(x)...)) также равно x. Но тогда, если мы добавим еще одну вложенную функцию f к уравнению, получим f(f(f(...(x)...))) = x, что и требуется доказать для случая n.

Таким образом, утверждение 1 доказано.

Утверждение 2: Если x принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x, то x принадлежит F.

Доказательство от противного: Предположим, что x принадлежит множеству решений уравнения f(f(...(x)...)) = x, но x не принадлежит F.

Так как x не принадлежит F, то f(x) ≠ x. Но мы знаем, что f(f(x)) = x, поэтому f(f(x)) ≠ f(x). Однако, по предположению у нас есть уравнение f(f(...(x)...)) = x, в котором f(f(x)) = x. Таким образом, получаем противоречие.

Следовательно, наше предположение неверно, и x должно принадлежать множеству F.

Таким образом, мы доказали оба утверждения, что завершает доказательство того, что множество решений уравнения f(f(...(x)...)) = x совпадает с F.