Question

ПОМОГИТЕЕЕЕЕЕЕ Двогранний кут при основі правильної трикутної піраміди дорівнює 45°, а відрізок, що сполучає середину висоти і середину апофеми, дорівнює 2 см. Знайдіть об'єм піраміди.Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равна 45 °, а отрезок, соединяющий середину высоты и середину апофемы, равна 2 см. Найдите объем пирамиды.​

Answer 1

Відповідь: фото

Покрокове пояснення:

Answer 2

Для знаходження об'єму правильної трикутної піраміди, нам потрібно знати довжину її ребра (сторони основи) та висоту піраміди.

Ми знаємо, що двогранний кут при основі правильної трикутної піраміди дорівнює 45°. Це означає, що кут між бічними гранями піраміди (кут між однією стороною основи і відповідною стороною прилеглої грані) також дорівнює 45°.

Далі, нам дано, що відрізок, що сполучає середину висоти (медіану) і середину апофеми (відстань від вершини до центру основи), дорівнює 2 см.

Можемо розділити піраміду на чотири трикутники, де одна сторона є половиною ребра основи (половина довжини сторони основи), а друга сторона - половиною відрізка, що сполучає середину висоти і середину апофеми. Таким чином, утворюються чотири правильні прямокутні трикутники з кутом 45° між гіпотенузою та катетами.

За теоремою Піфагора для правильного прямокутного трикутника, довжина гіпотенузи (висота піраміди) дорівнює $\sqrt{2}$ рази довжині катета (половини ребра основи), тобто:

$h = \sqrt{2} \times \text{довжина катета}.$

Тепер, щоб знайти об'єм піраміди, використовуємо наступну формулу:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h,$

де $S_{\text{основи}}$ - площа основи піраміди, а $h$ - висота піраміди.

Маючи довжину катета (половину ребра основи), можемо знайти висоту:

$h = \sqrt{2} \times \text{довжина катета} = \sqrt{2} \times \frac{\text{довжина сторони основи}}{2} = \frac{\text{довжина сторони основи} \times \sqrt{2}}{2}.$

Оскільки основа піраміди - правильний трикутник, то маємо відношення сторін основи:

$\text{довжина сторони основи} = \text{довжина ребра піраміди}.$

Отже, $h = \frac{\text{довжина ребра піраміди} \times \sqrt{2}}{2}.$

Тепер можемо обчислити об'єм піраміди:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основи}} \times h = \frac{1}{3} \times (\text{площа правильного трикутника}) \times \frac{\text{довжина ребра піраміди} \times \sqrt{2}}{2}.$

Якщо нам дані розміри сторін правильного трикутника, то ми можемо обчислити його площу, і використовуючи значення $V$ для піраміди, також знайти об'єм. Наприклад, якщо довжина сторони основи піраміди дорівнює $a$, то площа правильного трикутника буде $\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$, і тоді:

$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \times \frac{a \times \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{24} \times a^3.$

Для того, щоб точно розрахувати об'єм піраміди, необхідні розміри сторін основи, тоді можна буде виразити $a$ і підставити в останню формулу. Без точних розмірів неможливо надати більш конкретний результат.