Question

Докажите, что значение выражения (4n+7)(7n-3)+19n+15 при всех натуральных значениях n кратно 14 Срочно!!!

Answer 1

Для n = 1 имеем, что 11*4 + 19 + 15 = 78 - не делится на 14, следовательно, ваше утверждение неверно.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, нужно показать, что выражение $(4n + 7)(7n - 3) + 19n + 15$ кратно 14 для всех натуральных значений n.

Для этого нам понадобится использовать метод математической индукции.

Шаг 1: Проверка базового случая. Для n = 1: $(4n + 7)(7n - 3) + 19n + 15 = (4(1) + 7)(7(1) - 3) + 19(1) + 15 = (11)(4) + 19 + 15 = 44 + 19 + 15 = 78$

14 делится на 78 без остатка, поэтому базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального k, то есть $(4k + 7)(7k - 3) + 19k + 15$ кратно 14.

Шаг 3: Индукционный шаг. Теперь докажем, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k+1.

Рассмотрим значение выражения для n = k+1: $(4(k+1) + 7)(7(k+1) - 3) + 19(k+1) + 15$

Раскроем скобки: $(4k + 11)(7k + 4) + 19k + 19$

Распишем первое слагаемое: $28k^2 + 59k + 44 + 19k + 19$

Сгруппируем члены: $28k^2 + 78k + 63$

Теперь воспользуемся предположением индукции: $(4k + 7)(7k - 3) + 19k + 15$ кратно 14. Это означает, что существует некоторое целое число m, для которого $(4k + 7)(7k - 3) + 19k + 15 = 14m$

Теперь заменим это значение в нашем выражении: $28k^2 + 78k + 63 = 14m$

Поделим обе части на 14: $2k^2 + 6k + 4.5 = m$

Заметим, что $2k^2 + 6k + 4.5$ является целым числом при любом натуральном k. Таким образом, у нас есть целое число m, которое делится на 14.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для k, то оно также верно и для k+1.

Поскольку базовый случай верен, и мы показали, что если утверждение верно для некоторого k, то оно также верно для k+1, мы можем заключить, что утверждение верно для всех натуральных значений n.

Таким образом, значение выражения $(4n + 7)(7n - 3) + 19n + 15$ кратно 14 для всех натуральных значений n.