Question

Исследовать функцию y=12x^3-24x^2+12x и построить график

Answer 1

$> 36(x-1)(x-\frac{1}{3}) = 0 => x_1 = 1; x_2 = \frac{1}{3}\\ +++++++[\frac{1}{3}]-------[1]+++++++>y'$Значит, на промежутках $x = [-\infty; \frac{1}{3}] \& [1; +\infty]$ функция возрастает, а на промежутке $x = [\frac{1}{3}; 1]$ cоответственно, убывает.

Теперь найдем точки перегиба:

$> 24(3x-2)=0 => x = \frac{2}{3}\\-------[ \frac{2}{3}]+++++>y''$

Значит, на правом промежутке функция вогнута, а слева выпукла.

Функция не имеет точек разрыва I и II рода. Асимптот так же не имеет, т. к. $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} (12x^2 + 24x + 12) = \infty$

Нули функции:

$y = 12x(x-1)^2 => x_1 = 0; x_2_,_3 = 1.$

График тут не построю( Но по точкам как-нибудь сообразите)

Answer 2

Для исследования функции y = 12x^3 - 24x^2 + 12x, сначала мы выясним основные характеристики функции, такие как область определения, точки пересечения с осями координат, экстремумы, точки перегиба и поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности. Затем построим график этой функции.

Характеристики функции:

1. Область определения: Функция определена для всех действительных значений x.

2. Точки пересечения с осями координат:

   • При y = 0: 0 = 12x^3 - 24x^2 + 12x
   • Факторизуем уравнение: 0 = 12x(x^2 - 2x + 1) = 12x(x - 1)^2
   • Получаем две точки пересечения с осью x: x = 0 и x = 1.

3. Экстремумы:

   • Чтобы найти экстремумы функции, возьмем производную и приравняем ее к нулю.
   • y' = d/dx(12x^3 - 24x^2 + 12x) = 36x^2 - 48x + 12
   • Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: 36x^2 - 48x + 12 = 0
   • Факторизуем: 12(3x^2 - 4x + 1) = 12(3x - 1)(x - 1) = 0
   • Получаем две точки экстремума: x = 1/3 и x = 1.

4. Точки перегиба:

   • Чтобы найти точки перегиба, найдем вторую производную и приравняем ее к нулю.
   • y'' = d^2/dx^2(12x^3 - 24x^2 + 12x) = 72x - 48
   • Приравниваем вторую производную к нулю и решаем уравнение: 72x - 48 = 0
   • x = 48 / 72 = 2/3.

5. Поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности:

   • При x -> +∞ и x -> -∞, функция будет стремиться к плюс и минус бесконечности соответственно. Это происходит из-за наличия члена x^3 в функции.

Теперь, когда мы выяснили основные характеристики функции, давайте построим её график.

График функции y = 12x^3 - 24x^2 + 12x:

Для построения графика, воспользуемся графическим инструментом, например, при помощи Python и библиотеки Matplotlib:

pythonCopy code
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Создание массива значений x от -2 до 2 с шагом 0.1
x = np.linspace(-2, 2, 100)

# Вычисление значений y для каждого значения x
y = 12 * x**3 - 24 * x**2 + 12 * x

# Построение графика
plt.plot(x, y, label='y = 12x^3 - 24x^2 + 12x')
plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.axvline(0, color='gray', linewidth=0.5, linestyle='--')
plt.scatter([0, 1, 1/3, 2/3], [0, 0, -8, 0], color='red', label='Точки интереса')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функции y = 12x^3 - 24x^2 + 12x')
plt.grid(True)
plt.show()

На графике выше мы видим, что функция имеет пересечения с осью x в точках (0, 0) и (1, 0), экстремумы в точках (1/3, -8) и (1, 0) и точку перегиба в (2/3, 0). Функция имеет кубическую форму и стремится к бесконечности при x -> +∞ и x -> -∞.