Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2 y=-x^2+2 Даю 60 балов !!!​

Answer 1

Ответ: S=2,6667 кв. ед.

Пошаговое объяснение:

y=x²       y=-x²+2     S=?

x²=-x²+2         2x²=2  |÷2    x²=1       x₁=-1       x₂=1

S=₋₁∫¹(-x²+2-x²)dx=₋₁∫¹(2-2x²)dx=₋₁∫¹2dx-₋₁∫¹2x²dx=2x ₋₁|¹-2x³/3  ₋₁|¹=

=(2*1-2*(-1)-(2*1³/3-2*(-1)³/3)=2+2-(2/3+2/3)=4-(4/3)=4-1¹/₃=2²/₃.

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми, вам нужно найти точки их пересечения, затем определить границы интегрирования и вычислить определенный интеграл.

Сначала найдем точки пересечения:

Приравняем два уравнения:

x^2 = -x^2 + 2

2x^2 = 2

x^2 = 1

x = ±√1

Таким образом, кривые пересекаются в точках (-1, 1) и (1, 1).

Теперь определим границы интегрирования. Между этими точками кривые ограничивают область. Поскольку обе кривые симметричны относительно оси y, мы можем интегрировать только по положительному значению x, а затем умножить результат на 2, чтобы учесть симметрию.

Таким образом, границы интегрирования будут от -1 до 1.

Теперь вычислим площадь фигуры:

Площадь = 2 * ∫(от -1 до 1) (y) dx

где y = x^2 и y = -x^2 + 2.

Интегрируем:

Площадь = 2 * ∫(от -1 до 1) (x^2 - (-x^2 + 2)) dx

Площадь = 2 * ∫(от -1 до 1) (2x^2 - 2) dx

Площадь = 2 * [ (2/3)x^3 - 2x ] (от -1 до 1)

Площадь = 2 * [(2/3)(1)^3 - 2(1)] - [(2/3)(-1)^3 - 2(-1)]

Площадь = 2 * [(2/3) - 2] - [(-2/3) + 2]

Площадь = 2 * (-4/3) - (2/3)

Площадь = -8/3 - 2/3

Площадь = -10/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 и y = -x^2 + 2, составляет -10/3 (или приближенно -3.33) квадратных единиц.