Question

Определенный интеграл вверху 3 снизу 2 (x+1)^2

Answer 1

Вот такое решение (сверху)

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла вверху 3 и снизу 2 от функции $(x+1)^2$, нам понадобится использовать формулу определенного интеграла:

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

где $F(x)$ - первообразная функции $f(x)$. Найдем первообразную функции $(x+1)^2$:

$$F(x) = \int (x+1)^2 \, dx$$

Раскроем квадрат и выполним интегрирование:

$$F(x) = \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$$

где $C$ - произвольная постоянная.

Теперь можем вычислить значение определенного интеграла:

$$\int_2^3 (x+1)^2 \, dx = F(3) - F(2) = \left(\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 + C\right) - \left(\frac{2^3}{3} + 2^2 + 2 + C\right)$$

Постоянная $C$ сокращается:

$$= \left(\frac{27}{3} + 9 + 3\right) - \left(\frac{8}{3} + 4 + 2\right) = (9 + 9 + 3) - \left(\frac{8}{3} + 4 + 2\right)$$

Выполняя арифметические операции, получаем итоговый результат:

$$= 21 - \frac{14}{3} = \frac{63}{3} - \frac{14}{3} = \frac{49}{3} \approx 16.333$$

Таким образом, значение определенного интеграла $\int_2^3 (x+1)^2 \, dx$ равно приближенно $16.333$.