Question

Существует ли такое иррациональное число "а", при котором числа "а^2+a" и "a^3-2a" будут рациональными? ЕСЛИ ДА, ТО ПРИМЕР, ЕСЛИ НЕТ, ТО ДОКОЗАТЕЛЬСТВО !!!

Answer 1

Ответ: Да . Например :

a= (√5-1)/2

a= (-√5-1)/2

Пошаговое объяснение:

Предположим ,  что числа

а^2+a  и  a^3-2a  являются рациональными ,  но тогда отношение этих чисел так же является рациональным числом .

Преобразуем это отношение :

(a^3-2a)/(a^2+a)  =  ( a*(a^2-2) )/( a*(a+1) ) =

= (a^2-2)/(a+1) = (a^2-1)/(a+1)   -1/(a+1)=

=(a-1)*(a+1)/(a+1)    -1/(a+1)  =  a-1 -  1/(a+1)  =  (a+1)  -1/(a+1) -2

(a+1)  - 1/(a+1) -2 - рациональное число .

Поскольку 2 - рациональное число ,  то  

(a+1) - 1/(a+1) - рациональное число .

Пусть :  (a+1) - 1/(a+1) = R - рациональное число.

Решим  уравнение относительно иррационального  числа  a+1 =t :

t-1/t =R

t^2-R*t-1=0

D = R^2 +4 >0 при  любом  рациональном числе R

t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2

Поскольку  по  условию t= a+1 - иррационально ,  тк  a- иррационально.

То R^2+4 - не является квадратом рационального числа.

По  условию :   число  а^2+a - рационально

a^2+a =a*(a+1) = (t-1)*t =t^2-t

t^2 = ( (R +-√(R^2+4) ) /2 )^2 = (R^2 +-2*R*√(R^2+4) +R^2+4)/4 =

= (2*R^2 +4 +-2*R*√(R^2+4) )/4 = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2

t^2-t = (R^2 +-R*√(R^2+4) +2)/2  - (R +-√(R^2+4) ) /2 =  

=(R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4)  )/2

Число : R^2-R+2  - рационально в силу рациональности R . Точно так же как и число  R-1 .  

Но  тогда ,  выходит    что (R-1)*√(R^2+4)  - рациональное число

Это может быть только в двух случаях.

1)  R^2+4  является  квадратом рационального числа , но  как  было написано выше это невозможно.

2) Тогда остается единственный вариант , а именно,  занулить  это выражение ,  то есть когда  R=1.

В этом случае :  (R^2-R+2 +-(R-1)*√(R^2+4)  )/2 =  (R^2-R+2)/2 =  1 - рациональное число.

Поскольку отношение чисел :

(a^3-2a)/(a^2+a) = R-2 =-1 - рационально и

a^2+a = 1

То  a^3 -2a = -1 - рационально.

Подставим  R=1  в значение  для

t=a+1

t12 = (R +-√(R^2+4) ) /2 = (1+-√5)/2

a = (1+-√5)/2 -1  = (-1+-√5)/2 - иррациональное число.

Таким образом ,  такие  a существуют и их ровно два :

a1= (√5-1)/2

a2= (-√5-1)/2

Answer 2

Предположим, что такое иррациональное число "а" существует, при котором и числа "а^2+a" и "a^3-2a" являются рациональными.

Пусть "а" - иррациональное число. Значит, оно не может быть представлено в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, и q не равно нулю.

Рассмотрим выражение "а^2+a". По предположению, оно является рациональным числом. Значит, существуют такие целые числа p1 и q1 (где q1 не равно нулю), что:

а^2 + a = p1/q1 ............ (уравнение 1)

Рассмотрим теперь выражение "а^3-2а". По предположению, оно также является рациональным числом. Значит, существуют такие целые числа p2 и q2 (где q2 не равно нулю), что:

а^3 - 2а = p2/q2 ............ (уравнение 2)

Умножим уравнение 1 на "а" и вычтем его из уравнения 2:

а^3 - 2а - (а^2 + a) = p2/q2 - (p1/q1)

а^3 - а^2 - 3а = (p2q1 - p1q2)/(q1q2)

Левая сторона этого уравнения представляет собой разность двух мономов, где каждый моном является многочленом степени не более 3 и имеет коэффициенты 1, -1 и -3. Таким образом, левая сторона является алгебраическим числом.

Правая сторона этого уравнения представляет собой отношение двух целых чисел. Отношение двух целых чисел является рациональным числом.

Таким образом, мы получаем, что алгебраическое число равно рациональному числу, что противоречит определению иррациональных чисел.

Следовательно, предположение о существовании иррационального числа "а" при котором числа "а^2+a" и "a^3-2a" являются рациональными неверно.

Доказательство завершено.