Question

Решить дифференциальное уравнениеy’=y*e^x

Answer 1

y’=y*e^x

dy/dx=y*e^x

dy/y=e^x dx

ln|y|=e^x+C

|y|=e^(e^x+C)

y=±e^(e^x+C)

Answer 2

Для решения дифференциального уравнения y' = y * e^x, можно использовать метод разделяющихся переменных. Шаги решения представлены ниже:

Шаг 1: Запишем данное дифференциальное уравнение в виде:

dy/dx = y * e^x

Шаг 2: Разделим переменные, переместив y на одну сторону уравнения и dx на другую:

dy / y = e^x dx

Шаг 3: Интегрируем обе части уравнения по своим переменным:

∫(1/y) dy = ∫e^x dx

Шаг 4: Выполним интегрирование:

ln|y| = ∫e^x dx

Для правой стороны, ∫e^x dx = e^x + C, где C - постоянная интегрирования.

Таким образом:

ln|y| = e^x + C

Шаг 5: Применим экспоненту к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от логарифма:

|y| = e^(e^x) * e^C

Заметим, что e^C - это просто некоторая константа, которую мы можем заменить одной константой, например, K. Тогда:

|y| = Ke^(e^x)

Шаг 6: Теперь рассмотрим два случая для y:

1. y > 0: Тогда y = Ke^(e^x)

2. y < 0: Тогда y = -Ke^(e^x)

Это является общим решением дифференциального уравнения y' = y * e^x. Оно содержит параметр K, который можно определить, используя начальное условие, если оно задано.