Question

Найти значения f(x) для которых работает равенство f(x)+3f(1/x)=4x

Answer 1

Ответ:

f(x) = 3/(2x) - x/2

Пошаговое объяснение:

заметим, что х ≠ 0

положим х := 1/х

тогда: f(1/x) + 3f(x) = 4/x

отсюда f(1/x) = 4/x - 3f(x)

подставим в условие:

f(x) + 3(4/x - 3f(x)) = 4x

f(x) - 9f(x) + 12/x = 4x

-8f(x) = 4x - 12/x

f(x) = 3/(2x) - x/2

Answer 2

Для найти значения функции f(x), при которых выполняется равенство f(x) + 3f(1/x) = 4x, мы можем использовать систему уравнений. Заметим, что равенство должно выполняться для всех значений x, которые являются допустимыми для функции f(x) и f(1/x).

Предположим, что f(x) имеет степенную форму f(x) = ax^n, где a и n - константы. Тогда f(1/x) будет иметь вид f(1/x) = a(1/x)^n = ax^(-n).

Теперь мы можем подставить это в исходное уравнение:

f(x) + 3f(1/x) = ax^n + 3ax^(-n) = 4x

Теперь приведем уравнение к общему виду:

ax^n + 3ax^(-n) - 4x = 0

Теперь решим это уравнение. Обратите внимание, что x не может быть равен нулю или принимать отрицательные значения, так как это делало бы 1/x неопределенным.

Для решения уравнения нам нужно подобрать значения a и n таким образом, чтобы уравнение имело решение при любых допустимых значениях x.

Попробуем n = 1:

ax + 3a/x - 4x = 0

Приравниваем коэффициенты при каждой степени x к нулю:

a - 4 = 0 => a = 4

Таким образом, для n = 1 и a = 4, уравнение f(x) = 4x удовлетворяет условиям.

Теперь проверим для n = 2:

ax^2 + 3a/x^2 - 4x = 0

Приравниваем коэффициенты при каждой степени x к нулю:

a - 4 = 0 => a = 4

Таким образом, для n = 2 и a = 4, уравнение f(x) = 4x^2 удовлетворяет условиям.

Подытожим:

Уравнения f(x) = 4x и f(x) = 4x^2 удовлетворяют условиям равенства f(x) + 3f(1/x) = 4x при любых допустимых значениях x (кроме x = 0 и отрицательных значений).