Question

5. Три числа, сумма которых равна 31, образуют геометри ческую прогрессию. Если ко второму числу прибарию. Если ко второму числу прибавить 8, то теполученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа​

Answer 1

 S₃=31

31=b₁(q³-1)\q-1

Найдём b₁ и q. Учитывать надо что b₁ и  q²+q +1  должны быть делителями 31.

 b₁=1     q=5    b₂=5  b₃=25

       1             5+8=13        25

         → +12               →+12

Answer 2

Пусть три числа в геометрической прогрессии будут a, ar и ar^2 (где r - это множитель прогрессии).

Из условия известно, что их сумма равна 31:

a + ar + ar^2 = 31

Также известно, что если ко второму числу прибавить 8, то полученные числа будут составлять арифметическую прогрессию. Значит, разность между любыми двумя соседними числами в арифметической прогрессии будет одинаковой. То есть:

(ar + 8) - ar = (ar^2) - (ar + 8)

Раскроем скобки:

ar + 8 - ar = ar^2 - ar - 8

Упростим:

8 = ar^2 - 2ar - 8

Теперь решим квадратное уравнение:

ar^2 - 2ar - 16 = 0

Для решения найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-16) D = 4 + 64 D = 68

Так как дискриминант положителен, у нас будет два различных корня:

r1 = (-b + √D) / 2a r1 = (2 + √68) / 2 r1 = (2 + 2√17) / 2 r1 = 1 + √17

r2 = (-b - √D) / 2a r2 = (2 - √68) / 2 r2 = (2 - 2√17) / 2 r2 = 1 - √17

Так как r является множителем геометрической прогрессии, он не может быть отрицательным. Поэтому выбираем положительное значение r1:

r = 1 + √17

Теперь можем найти первое число a, зная сумму трех чисел:

a + ar + ar^2 = 31

a + a(1 + √17) + a(1 + √17)^2 = 31

a + a(1 + √17) + a(1 + 2√17 + 17) = 31

a + a(1 + √17) + a(18 + 2√17) = 31

a(1 + 1 + √17 + 18 + 2√17) = 31

a(2 + 3√17) = 31

a = 31 / (2 + 3√17)

Теперь, найдя a, можем найти остальные числа:

первое число: a ≈ 1.59 второе число: ar ≈ 1.59(1 + √17) ≈ 6.94 третье число: ar^2 ≈ 1.59(1 + √17)^2 ≈ 30.47

Таким образом, исходные числа примерно равны 1.59, 6.94 и 30.47.