Question

Три числа, сумма которых равна 13, образуют геометрическую прогрессию. Если ко второму числу прибавить 2, то полученные числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные числа. Помогите, пожалуйста. :с

Answer 1

....,.....................

Answer 2

Давайте обозначим исходные числа геометрической прогрессии через \(a\), \(ar\) и \(ar^2\), где \(a\) - первый член прогрессии, а \(r\) - её знаменатель. Из условия задачи известно, что:

\[a + ar + ar^2 = 13\]

Теперь мы знаем, что если ко второму числу прибавить 2, то получится арифметическая прогрессия. Арифметическая прогрессия имеет вид \(a, a + d, a + 2d\), где \(a\) - первый член, \(d\) - разность. Мы знаем, что:

\[(ar + 2) - (a + 2) = ar - a\]

С учетом этого уравнения, мы можем записать систему из двух уравнений:

\[\begin{cases} a + ar + ar^2 = 13 \\ ar - a = ar + 2 - (a + 2) \end{cases}\]

Упростим второе уравнение:

\[ar - a = ar + 2 - a - 2 \]

\[ar - a = 2\]

\[a(r - 1) = 2\]

Теперь, учитывая это уравнение и первое уравнение, мы можем решить систему:

\[\begin{cases} a + ar + ar^2 = 13 \\ a(r - 1) = 2 \end{cases}\]

Перепишем второе уравнение в виде \(a = \frac{2}{r - 1}\) и подставим в первое:

\[\frac{2}{r - 1} + \frac{2}{r - 1}r + \frac{2}{r - 1}r^2 = 13\]

Умножим обе стороны на \((r - 1)\) чтобы избавиться от знаменателей:

\[2 + 2r + 2r^2 = 13(r - 1)\]

Раскроем скобки:

\[2 + 2r + 2r^2 = 13r - 13\]

\[2r^2 - 11r + 15 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы видим, что оно разлагается на две скобки:

\[(2r - 3)(r - 5) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для \(r\): \(r = \frac{3}{2}\) или \(r = 5\).

Теперь подставим каждое значение \(r\) обратно в уравнение \(a(r - 1) = 2\), чтобы найти соответствующие значения \(a\):

1. При \(r = \frac{3}{2}\):

\[a(\frac{3}{2} - 1) = 2\]

\[a(\frac{1}{2}) = 2\]

\[a = 4\]

2. При \(r = 5\):

\[a(5 - 1) = 2\]

\[a(4) = 2\]

\[a = \frac{1}{2}\]

Таким образом, у нас есть две пары исходных чисел, образующих геометрическую прогрессию, удовлетворяющую условиям задачи:

1. \(a = 4\), \(ar = 6\), \(ar^2 = 30\) 2. \(a = \frac{1}{2}\), \(ar = \frac{5}{2}\), \(ar^2 = \frac{25}{2}\)