Question

Необходимо решить интеграл (x+3)dx/x^2 +4x+7

Answer 1

$\displaystyle\int\frac{x+3}{x^2+4x+7}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+4+2}{x^2+4x+7}dx=\\=\frac{1}{2}\int\frac{(2x+4)}{x^2+4x+7}dx+\int\frac{dx}{x^2+4x+7}=\\=\frac{1}{2}\int\frac{d(x^2+4x+7)}{x^2+4x+7}+\int\frac{d(x+2)}{(x+2)^2+3}=\\=\frac{1}{2}ln|x^2+4x+7|+\frac{1}{\sqrt3}arctg\frac{x+2}{\sqrt3}+C$

Answer 2

Чтобы решить данный интеграл, давайте разделим дробь под знаком интеграла на части:

$\frac{x+3}{x^2 + 4x + 7} = \frac{x}{x^2 + 4x + 7} + \frac{3}{x^2 + 4x + 7}$

Теперь проинтегрируем каждую часть по отдельности.

Интеграл первой части: $\int \frac{x}{x^2 + 4x + 7} \, dx$

Для интегрирования этой части можно сделать замену переменной, например: $u = x^2 + 4x + 7$, тогда $du = (2x + 4) \, dx$.

Интеграл станет: $\int \frac{1}{2} \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C_1$ $= \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4x + 7| + C_1$

Интеграл второй части: $\int \frac{3}{x^2 + 4x + 7} \, dx$

Для этой части также можно воспользоваться заменой, например: $v = x + 2$, тогда $dv = dx$.

Интеграл станет: $\int \frac{3}{v^2 + 3} \, dv = 3 \int \frac{1}{v^2 + 3} \, dv$

Теперь можно воспользоваться известной формулой интеграла от $1/(a^2 + x^2)$: $\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C_2$

Подставляя $a = \sqrt{3}$, получаем: $3 \int \frac{1}{v^2 + 3} \, dv = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{v}{\sqrt{3}}\right) + C_2$ $= \sqrt{3} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right) + C_2$

Теперь объединим оба интеграла и добавим постоянные интегрирования: $\int \frac{x+3}{x^2 + 4x + 7} \, dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 4x + 7| + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{x+2}{\sqrt{3}}\right) + C$

Где $C = C_1 + C_2$ 0 0